De la puissance d'un entier à celle d'un rationnel

[leon1789]

Une définition n'est ni bonne, ni mauvaise ; elle est, un point c'est tout, et on fait avec.

une définition de qui repose sur une écriture particulière de r (à savoir la fraction sous forme irréductible) ne me paraît pas une bonne définition. Une bonne définition de où r est rationnel doit être intrinsèque à r...
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[God's Breath]

Au temps pour moi, j'avais cru comprendre que tu voulais attirer l'attention dans ton message sur le fait qu'il n'existait pas de definition satisfaisante de avec r rationnel et a negatif.

Je vise bien ce résultat, mais je voulais surtout faire le point : on a défini dans ce fil la puissance d'un exposant entier, ou d'un exposant fractionnaire.
On veut passer à l'exposant rationnel : il faut donc vérifier que la définition posée ne dépend pas du représentant fractionnaire choisi, ce qui ne peut se faire sans problème que pour les valeurs de positives.
Mais je voulais surtout mettre le projecteur sur le débat : on imagine avoir défini la puissance d'exposant rationnel, et on s'étonne que le résultat dépende du représentant rationnel choisi. C'est de l'anti-mathématiques : on utilise un axiome implicite, et de plus cet axiome est contradictoire avec le reste de la théorie.

[God's Breath]

-Une bonne définition de où r est rationnel doit être intrinsèque à r...

Entièrement d'accord, mais quelle est cette définition intrinsèque ?

[invitebe0cd90e]

une définition de qui repose sur une écriture particulière de r (à savoir la fraction sous forme irréductible) ne me paraît pas une bonne définition. Une bonne définition de où r est rationnel doit être intrinsèque à r...

C'est bien ce que je voulais dire en disant que 1/3 et 2/6 etaient differents

[leon1789]

Entièrement d'accord, mais quelle est cette définition intrinsèque ?

Je pense, mais je peux me tromper, qu'une définition intrinsèque de
-1- pour un rationnel r quelconque n'existe que pour a>0,
-2- ou dans d'autres rares exceptions pour a réel quelconque (par exemple les rationnels r inverses des entiers impairs, par exemple l'inverse de 3)

[God's Breath]

Je pense, mais je peux me tromper, qu'une définition intrinsèque de
-1- pour un rationnel r quelconque n'existe que pour a>0,
-2- ou dans d'autres rares exceptions pour a réel quelconque (par exemple les rationnels r inverses des entiers impairs, par exemple l'inverse de 3)

Je ne veux pas un baratin, je veux une définition mathématique.
C'est fou ce que les mathématiques peuvent se mettre à ressembler à la politique : on parle, on parle, de tout et de rien, mais aucun résultat tangible.

[invitebe0cd90e]

-2- ou dans d'autres rares exceptions pour a réel quelconque (par exemple les rationnels r inverses des entiers impairs, par exemple l'inverse de 3)

Ton 2 depend evidemment du representant que tu choisis, CF l'exemple qui traine depuis le debut de cette discussion

Je ne crois vraiment pas qu'il soit possible de trouver une definition satisfaisante pour a<0.

[bourbaki]

je vous remercie de vous interresser à mon probleme, c est tres sympa

[leon1789]

Ton 2 depend evidemment du representant que tu choisis, CF l'exemple qui traine depuis le debut de cette discussion

Je ne crois pas : est bijective pour q entier impair, et sa réciproque x -> x^r est bien définie (avec r=1/q = 2/2q = ...)

[leon1789]

Je ne veux pas un baratin, je veux une définition mathématique.

pour a > 0 ou pas ? choisis au moins !

C'est fou ce que les mathématiques peuvent se mettre à ressembler à la politique : on parle, on parle, de tout et de rien, mais aucun résultat tangible.

quel comique !

[God's Breath]

Il me semble avoir déjà répondu dans le message #24...

Non !

Tu as proposé la définition de par , mais on ne sait pas d'où sort ce ... donc tu ne définis absolument rien.

[leon1789]

Tu as proposé la définition de par , mais on ne sait pas d'où sort ce ... donc tu ne définis absolument rien.

Pur a>0 !

pour a>0 , on peut prendre "bourrinement" le log comme je disais ... .

J'imagine que c'est décevant... on aurait voulu parler de 0<a a^36 et 0<a a^(1/10) : mais alors il faut montrer que la composée, dans n'importe quel sens, est indépendant de 36 et 10, mais dépend seulement du rationnel 36/10 (et pour ça, il faut utiliser (a^y)^x = a^(xy) = (a^x)^y pour x,y entiers. On revient toujours aux mêmes propriétés fondamentales).

[God's Breath]

alors il faut montrer que la composée, dans n'importe quel sens, est indépendant de 36 et 10, mais dépend seulement du rationnel 36/10 (et pour ça, il faut utiliser (a^y)^x = a^(xy) = (a^x)^y pour x,y entiers).

Oui, il faut le montrer !!!

C'est ce que je me tue à vous dire depuis 3 heures : vous voudriez utiliser un résultat que vous n'avez pas démontré.

Et en plus vous faites semblant de ne pas comprendre !

[leon1789]

On revient toujours aux mêmes propriétés fondamentales.

...sans oublier le fait qu'on a affaire à des bijections sur R+... (d'où l'importance de prendre a>0)

[leon1789]

C'est ce que je me tue à vous dire depuis 3 heures : vous voudriez utiliser un résultat que vous n'avez pas démontré.

Les résultats que j'ai énoncés sont prouvés (pas dans ce fil ok c'est vrai, mais ils sont assez classiques...)

Et en plus vous faites semblant de ne pas comprendre !

Ben (je ne sais plus qui l'a dit, mais ce n'est pas important), c'est difficile à comprendre !

En revanche pour le point très particulier (-8)^r (avec r=1/3=2/3=....) que l'on comprend comme l'antécédent de -8 par la bijection x -> x^3 , dire qu'on a (-8)^r = ((-8)^2)^(1/3) est faux :
pas étonnant -8<0 et 1/3 n'est pas entier. Il me semble que c'est ce que je dis depuis le début !

[God's Breath]

...sans oublier le fait qu'on a affaire à des bijections sur R+... (d'où l'importance de prendre a>0)

Non, pour entier, est une bijection sur ou sur suivant la parité de .

On peut donc définir pour négatif.

Le tout est de savoir quelles règles de calcul sont valides sur avec cette nouvelle fonction.

Et il faut le démontrer, alors que vous imaginez des règles, et que vous vous demandez pourquoi vous obtenez des résultats aberrants : parce que vos règles de calculs sont fausses compte-tenu du cadre imposé par les définitions, ou, plus exactement, il n'y a pas de règles de calcul, puisque vous n'avez pas posé de définition.

[leon1789]

Non, pour entier, est une bijection sur ou sur suivant la parité de .

On peut donc définir pour négatif.

Vous mélangez (dans le texte) les a>0 et a<0, les exposants pairs et les impairs... pas étonnant que les gens n'y comprennent rien !

Je vous ai donné des définitions (puisque vous ne déniez pas le faire, trop bas pour vous peut-être...) pour a>0 avec des exposants rationnels (et même réels).

Maintenant, on peut en donner également une pour a<0 avec des exposants entiers (puis pour des cas exceptionnels comme l'inverse d'un entier impair).

Je me tue à le répéter depuis le début...

[Médiat]

Ce que dit God's Breath, ce qu'il se tue à dire même, est clair, net et précis, et je ne fais que développer, car il semble que la méthode socratique (maïeutique pour les experts) ne fonctionne pas toujours.
est défini très simplement pour tout a réel et p entier (à quelques exceptions près).
est défini pour certains couples (a, q).
Si on note la classe de (p, q) pour une certaine relation d'équivalence bien connue, il est clair que l'on peut écrire , puisque cela ne dit rien d'autre que 6.1 =3.2
On peut définir sous réserve que soit défini et que le couple autorise cette écriture
Mais en aucun cas on ne peut écrire que l'on a ainsi défini tant que l'on a pas démontré que le résultat est le même quelque soit le représentant de la classe de (p, q) choisi, or cette démonstration est impossible avec comme contre-exemple qui existe, qui est d'ailleurs égal à -2 et qui existe (avec la définition que j'ai adoptée, mais qui est égal à 2 donc l'écriture est une aberration.

PS : j'aurais pu définir la différence eut été encore plus flagrante.

[Matmat]

pour tout rationnel r, il existe un unique (p,q) de IN*IN tel que p/q = r et p/q soit irréductible . imposez les fractions irréductibles dans le domaine de définition et ... 2/6 est hors domaine de définition !

[Médiat]

pour tout rationnel r, il existe un unique (p,q) de IN*IN tel que p/q = r et p/q soit irréductible . imposez les fractions irréductibles dans le domaine de définition et ... 2/6 est hors domaine de définition !

Pour tout rationnel, il existe un unique (p,q) de (Z x N) tel que ...

C'est une façon de compléter la définition que j'ai donnée et qui manque cruellement à ce que dit leon1789 (cf. les messages 9 et 10) ; ce qui est gênant c'est que cette définition interdit toujours d'écrire x^p/q, ou alors il faut abandonner l'idée que a = b ==> x^a = x^b.

Une autre façon de la compléter est de dire que x^r est égal à x^p/q, où p/q est la fraction irréductible égale à r ; ce qui peut poser des problèmes de calcul, car on ne peut utiliser la formule fondatrice qu'avec l'écriture utilisant le bon représentant (cf. le message #1).

[leon1789]

(...) donc l'écriture est une aberration.

Oui, c'est une aberration avec la définition que vous en donnez ! (surtout à ne pas vouloir faire une différence, pourtant fondamentale, entre a>0 et a<0...)

On peut définir (...)
PS : j'aurais pu définir la différence eut été encore plus flagrante.

Oh que oui ! puisque existe pour p=2 et q=2 et a réel quelconque par exemple (on a alors ), et n'existe pas pour a<0 et q=2 !

Encore une preuve qu'il faut faire attention quand on fait joujou avec les exposants, comme je disais dans mon tout premier message...

[Matmat]

...ce qui est gênant c'est que cette définition interdit toujours d'écrire x^p/q, ou alors il faut abandonner l'idée que a = b ==> x^a = x^b.

l'écriture x^p/q est permise si et seulement si p/q est irréductible , sinon on est hors domaine de définition.

bien entendu on peut toujours écrire p/q = cp/cq mais par contre il est interdit d'écrire: x^p/q = x^cp/cq comme au message #1, il faut abandonner l'idée que a = b ==> x^a = x^b seulement lorsque a ou b est hors domaine de définition.

...
Une autre façon de la compléter est de dire que x^r est égal à x^p/q, où p/q est la fraction irréductible égale à r ; ce qui peut poser des problèmes de calcul, car on ne peut utiliser la formule fondatrice qu'avec l'écriture utilisant le bon représentant (cf. le message #1).

Oui, mais je ne trouve pas que ca pose problème.

[leon1789]

C'est une façon de compléter la définition que j'ai donnée et qui manque cruellement à ce que dit leon1789 (cf. les messages 9 et 10) ; ce qui est gênant c'est que cette définition interdit toujours d'écrire x^p/q, ou alors il faut abandonner l'idée que a = b ==> x^a = x^b.

Oui, votre définition l'interdit.

Ce qui est amusant, c'est que vous essayez de faire croire que a^x ne peut pas avoir de sens quand x est rationnel (= p/q , fraction réduite ou pas !)... mdr ...Et quand x est réel non plus j'image...

Cela étant, on peut reprendre le sujet avec vos notations :

Où est le problème ? je pense que c'est clair : .

[Médiat]

Oui, c'est une aberration avec la définition que vous en donnez ! (surtout à ne pas vouloir faire une différence, pourtant fondamentale, entre a>0 et a<0...)...

J'espère que vous le faites exprès !

[leon1789]

J'espère que vous le faites exprès !

Parce que vous non ?

[Médiat]

l'écriture x^p/q est permise si et seulement si p/q est irréductible , sinon on est hors domaine de définition.

C'est cela que je trouve choquant : utiliser une définition qui ne dépend pas de la valeur d'un nombre, mais de sa représentation.

Oui, mais je ne trouve pas que ca pose problème.

Bien que loin d'être idéal (car dangereuse), je préfère effectivement cela.

[leon1789]

C'est cela que je trouve choquant : utiliser une définition qui ne dépend pas de la valeur d'un nombre, mais de sa représentation.

Là, on est d'accord ! (je voulais l'écrire, mais finalement, c'est mieux que ça soit vous... ça passe visiblement mieux ainsi)

existe (il vaut -2, antécédent de -8 par la bijection x -> x^3) , donc existe (et vaut -2) quel que soit le représentant de p/q de 1/3. Mais bon, on peut dire non...

[Médiat]

Ce qui est amusant, c'est que vous essayez de faire croire que a^x ne peut pas avoir de sens quand x est rationnel (= p/q , fraction réduite ou pas !)...

Ce qui est amusant c'est de vous voir vous enfoncer ; une indication : je n'essaye pas de faire croire (vous êtes extra-lucide en plus ?) que a^x ne peut pas avoir de sens quand x est rationnel, essayez encore de comprendre ce qui est écrit.

mdr ...

C'est ce que vous appelez une critique constructive, sans doute

Cela étant, on peut reprendre le sujet avec vos notations :

Où est le problème ? je pense que c'est clair : .

Si j'avais des doutes sur le fait que vous n'avez strictement rien compris à mon intervention, là, j'en ai la preuve.

[Matmat]

Où est le problème ? je pense que c'est clair : .

Cela n'a pas de sens sans écrire au préalable les domaines de définitions de et de ... Sont-ils les meme d'aprés vous ?

[leon1789]

Cela n'a pas de sens sans écrire au préalable les domaines de définitions de et de

oui, donc écrivons :
est défini pour x>0 (par exemple, pour x=(-8)^2)
et
est défini pour x quelconque (par exemple x=-8)