De la puissance d'un entier à celle d'un rationnel

[invité576543]

exposant entier positif pour un anneau
exposant entier quelconque pour un corps

Oui... Pas en forme, mézig ce soir...

Cordialement,
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[leon1789]

Parfait. On a donc une définition de a^r avec a réel négatif et r un rationnel, du moins avec un résultat complexe.

Attention quand même : la définition que l'on peut obtenir par une détermination du logarithme (ou de l'argument) n'est pas canonique : il y a un choix à faire, et c'est peut-être ça le problème que l'on perçoit dans toutes ces histoires de puissances qui se comportent mal avec certaines formules (ou l'inverse si on veut ).

[leon1789]

Que reste-t-il comme cas "sans risque"? L'exposant entier relatif ; et a réel positif et x réel...

Quelqu'un a-t-il une réponse simple à cette question ?

[acx01b]

les cas où il n'y a pas de risque de remplacer par ?

le problème venant du fait que cette égalité n'en est pas une dans le cas de l'exponentiation

[Sylvestre]

Quelqu'un a-t-il une réponse simple à cette question ?

Comme dit acx01b, ce sont les cas où la réponse ne change pas lorsque l'on ajoute à la détermination du log.

Donc, il faut que soit égal à pour tout k dans .
Donc il faut que pour tout k dans .
Ce qui revient à doit être un élément de pour tout k dans .

Les seuls cas sans risques sont donc lorsque b est un élément de .

[leon1789]

Les seuls cas sans risques sont donc lorsque b est un élément de .

ok, merci.
définie pour , est "sans risque" pour b entier relatif.

Maintenant, si on veut étendre la plage des exposants b à un ensemble contenant Z, il faut restreindre le domaine de définition de à R ou à un sous-ensemble de R...

Quelqu'un voit-il une réponse possible ?

[Sylvestre]

Quelqu'un voit-il une réponse possible ?

Si tu veux étendre l'exponentiation à une puissance non entière, il faudra préciser quels propriétés tu veux conserver pour pouvoir faire ton choix du à choisir dans la détermination du logarithme. Mais si tu veux que toujours pour un b non entier, tu vas avoir des problèmes à moins de restreindre x à un ensemble assez petit. Je n'ai pas fait les vérifications en détails, mais il me semble que si tu oblige x à appartenir à cela devrait fonctionner.

En fait, je viens de réfléchir, et il suffit de se restreindre à un domaine de dans lequel il existe une façon univoque de définir le du logarithme à choisir. Donc justement fonctionne, car on peut toujours choisir . Par contre ne fonctionne pas. Je rentrerai dans les détails si tu me le demandes, mais c'est pour une question d'ordre topologique : "Par quel côté du 0, nous sommes allés de l'axe positif à l'axe négatif des réels ?".

[leon1789]

ok, merci.

Alors définie pour , est "sans risque" pour b réel.


Finalement, on saute de b entier (et ) à b réel (et ) directement... b rationnel a l'air assez "risqué" pour des x réels.

[Sylvestre]

Finalement, on saute de b entier (et ) à b réel (et ) directement

On peut même faire b complexe et .

[leon1789]

On peut même faire b complexe et .

Dans ce cas, c'est la formule x^(bb') = (x^b)^b' qui ne fonctionne pas toujours.

[invitea0ece8ff]

Si je comprend bien la discution, le probleme est de pouvoir dire:
f(a/b)=g(a,b)
Car les valeurs de 'a' et de 'b' dépende de la representation donnée au rationelle 'a/b'.
Mais que si g(ca,cb)=g(a,c) (en respectant les domaine de définition de g )
On peut alors 'abusivement' ecrire:
f(a/b)=g(a,b)
car même si 'a' et 'b' dépendent de la representation donnée à 'a/b', g(a,b) lui ne dépend que de la valeur de 'a/b'.

Merci de m'indiquer si j'ai mal compris le fond de la discution.

[leon1789]

Si je comprend bien la discussion, le probleme est de pouvoir dire:
f(a/b)=g(a,b)
Car les valeurs de 'a' et de 'b' dépende de la representation donnée au rationelle 'a/b'.
Mais que si g(ca,cb)=g(a,c) (en respectant les domaine de définition de g )
On peut alors 'abusivement' ecrire:
f(a/b)=g(a,b)
car même si 'a' et 'b' dépendent de la representation donnée à 'a/b', g(a,b) lui ne dépend que de la valeur de 'a/b'.

Merci de m'indiquer si j'ai mal compris le fond de la discussion.

Oui, tu as raison :
si g : Z x Z -> R est une application, alors g définie une application de Q -> R a condition que g(a,b) = g(ca,cb) pour tout c entier non nul.

Mais ce n'est pas la seule manière de s'y prendre pour définir une application sur un sous-ensemble de Q ! (...je sais, j'ai l'esprit étriqué...)

Définir x^(a/b) en passant par et x^a n'est pas très canonique : doit-on prendre ou ? Les deux ne conduisent pas toujours à la même chose quand x<0... donc il faut faire un choix, donc définition pas canonique, etc.

A coté de ça, il existe une manière canonique de définir x^r pour r inverse d'un entier n : c'est tout simplement en considérant la réciproque de x^n (sur le bon ensemble de définition E bien sûr). Cette définition ne fait aucune référence à un (des) représentant(s) du rationnel r. On a alors (x^n)^r = x^1 = (x^r)^n pour tout x dans E . C'est bien le minimum !

Le problème, c'est que, déjà rien qu'avec ce minimum, pour certains x dans E, on peut malheureusement avoir ... (et cela n'a rien à voir avec une mauvaise définition car r/2 est l'inverse de l'entier 2n.)

Enfin, vouloir trouver une définition "assez générale" (pour x<0) où on impose absolument que les bonnes propriétés habituelles soient vraies, c'est faire preuve de naïveté sur le sujet (cf x^y sur les complexes (ce qui est encore une autre histoire...)).

[invité576543]

Enfin, vouloir trouver une définition "assez générale" (pour x<0) où on impose absolument que les bonnes propriétés habituelles soient vraies, c'est faire preuve de naïveté sur le sujet (cf x^y sur les complexes (ce qui est encore une autre histoire...)).

Pas d'accord. Ce n'est pas une question de naïveté, c'est une question de psychologie, de pragmatisme.

Au contraire, je trouve naïf de penser qu'une notation piégeante soit acceptable. Par quel argument? Que tous les utilisateurs sauront éviter les pièges? Naïf. Que seuls les "mauvais" utilisateurs se feront piéger? Naïf et arrogant.

Cordialement,

[leon1789]

Au contraire, je trouve naïf de penser qu'une notation piégeante soit acceptable.

Je suis d'accord (je ne dirais pas "naïf", mais "malheureusement résigné").