De la puissance d'un entier à celle d'un rationnel

**Médiat** · 05/02/2009, 08h38

Envoyé par Michel (mmy)

Souhaitable, mais impossible, non?

Ce que je voulais démontrer

.

J'avais en tête la suite s_n = 1/3 + 1/9 + ... 1/3ⁿ et l'étude de (-1)^s_n, dont tous les termes respectent la condition d'avoir un numérateur impair à l'exposant, c'est donc la suite constante -1 suivant la "définition" donnée, alors que la limite de s_n est 1/2, si la définition était valide on viendrait de démontrer que racine(-1) = -1.

Ne serait-ce point un exemple de démonstration par l'absurde ?

**Médiat** · 05/02/2009, 08h46

Envoyé par leon1789

Pour le 1) c'est fait !

Non !
Et là il me sera plus facile de ne plus intervenir et de laisser ce fil s'enliser (sauf question pertinente), puisque le posteur initial semble être satisfait des réponses avancées.

invité576543 · 05/02/2009, 08h48

Envoyé par leon1789

c'est exactement ça le fait soulevé par le message initial.

Tu es têtu, et tu ne vois toujours pas qu'il y avait (au moins) deux "faits soulevés par le message initial".

Tu n'en vois qu'un, tu t'y accroches, et tu défends ton point de vue étriqué contre un élargissement du point de vue.

Et ce faisant, tu fout le bordel dans la discussion, ce qui irrite un certain nombre d'intervenants.

Je crois que les choses vont finir par s'arranger, restons optimiste

Si tout le monde y met de la bonne volonté...

Cordialement,

**leon1789** · 05/02/2009, 08h53

Envoyé par Médiat

J'avais en tête la suite s_n = 1/3 + 1/9 + ... 1/3ⁿ et l'étude de (-1)^s_n, dont tous les termes respectent la condition d'avoir un numérateur impair à l'exposant, c'est donc la suite constante -1 suivant la "définition" donnée, alors que la limite de s_n est 1/2, si la définition était valide on viendrait de démontrer que racine(-1) = -1.

s_n = 1/3 + 1/9 + ... 1/3ⁿ = (3^n-1)/(2.3^n) = $\text{[math]}$

3^n est impair ok, mais (3^n-1)/2 peut être pair ou impair !

donc (-1)^{s_n} vaudrait -1 ou 1 suivant la parité de n... donc le passage à la limite ne peut pas se faire.

invité576543 · 05/02/2009, 08h55

Envoyé par Médiat

J'avais en tête la suite s_n = 1/3 + 1/9 + ... 1/3ⁿ et l'étude de (-1)^s_n, dont tous les termes respectent la condition d'avoir un numérateur impair à l'exposant, c'est donc la suite constante -1 suivant la "définition" donnée, alors que la limite de s_n est 1/2, si la définition était valide on viendrait de démontrer que racine(-1) = -1.

Il y a une différence non nécessairement accessoire avec le contre-exemple que j'ai donné : -1 n'est pas dans le domaine de définition de x --> x^1/2, alors qu'il l'est pour les deux suites que j'ai présentées.

Cordialement,

**leon1789** · 05/02/2009, 08h57

Envoyé par Médiat

Non !

Alors expliquez moi ce qui ne convient pas dans cette définition s'il vous plait :

on définit $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ tel que 3r=1comme la fonction réciproque de $\text{[math]}$

Maintenant, si on prend des définitions risquées (voire pire), pas étonnant de s'enliser...

**leon1789** · 05/02/2009, 09h16

Envoyé par Michel (mmy)

Et ce faisant, tu fout le bordel dans la discussion, ce qui irrite un certain nombre d'intervenants.

Je comprends ce que tu me veux me dire Michel, mais je ne peux pas laisser dire des trucs faux, comme par exemple (le dernier qui vient de sortir) $\text{[math]}$ sous prétexte que c'est Média qui le dit !

**Matmat** · 05/02/2009, 10h19

Envoyé par leon1789

3^n est impair ok, mais (3^n-1)/2 peut être pair ou impair !

donc (-1)^{s_n} vaudrait -1 ou 1 suivant la parité de n... donc le passage à la limite ne peut pas se faire.

cette fois vous avez raison

**Matmat** · 05/02/2009, 10h25

Envoyé par médiat

dont tous les termes respectent la condition d'avoir un numérateur impair à l'exposant, c'est donc la suite constante -1 suivant la "définition" donnée,

(-1)^(4/9) = +1

**Matmat** · 05/02/2009, 10h35

Envoyé par bourbaki

On peut considérer la fonction, définie sur $\text{[math]}$ , qui a $\text{[math]}$ associe $\text{[math]}$ ( avec $\text{[math]}$ ) lorsque $\text{[math]}$ est impair et ce comme bijection réciproque de la fonction (bijective!) qui a $\text{[math]}$ associe $\text{[math]}$ .
Où est l'aberration là dedans ?

Ensuite, considérons ce nombre, que je note $\text{[math]}$ ou encore $\text{[math]}$ cette notation (tout comme la racine carrée bien que là on considerait la bijection de R+ dans R+) signifiant l'image réciproque du réel a par la fonction $\text{[math]}$ (ainsi la racine troisième d'un nombre négatif a un sens...).
Elevons ce nombre à la puissance p, nous obtenons $\text{[math]}$ , noté $\text{[math]}$ . Encore une fois où est l'aberration ... c'est tout à fait correct.

mais ... $\text{[math]}$ n'a pas le meme domaine de défnition que $\text{[math]}$

la première est bijective dans R+ et la seconde dans R

**Médiat** · 05/02/2009, 10h37

Envoyé par Matmat

cette fois vous avez raison

Il est exact que cet exemple n'est pas judicieux, celui de Michel (mmy) convient parfaitement, et la sous suite de s_n dont les numérateurs sont impairs (1 sur 2) convient aussi (je parle bien de la sous-suite, pas de la sous-série), même si je me suis planté dans l'exemple, le fond reste vrai.

**leon1789** · 05/02/2009, 11h09

Envoyé par Matmat

cette fois vous avez raison

Merci

Comme vous dites "cette fois", c'est qu'ailleurs j'ai fait une faute ou que je n'ai pas su être clair. Pouvez-vous m'indiquer où , ou sur quoi ?

**Matmat** · 05/02/2009, 11h15

Envoyé par Médiat

...le fond reste vrai.

oui le fond est vrai ,

Pour moi, l'écriture a^(p/q) est une convention de notation, on exige pas que toutes les lois et propriétés des rationnels soient conservées lorsqu'ils sont élevées à la puissance , ainsi en exigeant que p/q soit irréductible je ne fais que définir cette convention de notation de facon non ambigue ( non ambigu parcequ'il existe un unique (p,q) tel que r=p/q et p/q irréductible) , ca n'implique pas du tout que la valeur a^r soit dépendante du représantant p/q choisi, ca implique juste que: a^(rr') = a^(pp'/qq') = a^(n/m) où n/m = pp'/qq' et n/m irréductible , autrement dit il faut toujours rendre irréductible la fraction AVANT d'appliquer la puissance, c'est une régle de priorité au meme titre que la mutiplication est prioritaire par rapport à l'addition par exemple )

**Médiat** · 05/02/2009, 11h28

Envoyé par =Matmat

( non ambigu parcequ'il existe un unique (p,q) tel que r=p/q et p/q irréductible)

Nous sommes d'accord puisque c'est ce que j'ai proposé lors d'une de mes premières interventions

Envoyé par Matmat

ca implique juste que: a^(rr') = a^(pp'/qq') = a^(n/m) où n/m = pp'/qq' et n/m irréductible , autrement dit il faut toujours rendre irréductible la fraction AVANT d'appliquer la puissance, c'est une régle de priorité au meme titre que la mutiplication est prioritaire par rapport à l'addition par exemple )

J'applique ta règle :
((-1)²)^1/2 = 1 en faisant les opérations dans l'ordre
((-1)²)^1/2 = ((-1)^2/2 en urilisant une "bonne" formule qui, si elle est fausse, rend la notation trop dangereuse (pourquoi ne pas en utiliser une autre ?).
J'applique ta règle :
((-1)^2/2 = ((-1)^1/1 = -1
de plus, 1/2 * 2 = 2* 1/2, n'est-ce pas.
((-1)^1/2)² n'existe pas(dans IR), et si j'applique ta règle je trouve à nouveau -1.

invité576543 · 05/02/2009, 11h41

Envoyé par Matmat

Pour moi, l'écriture a^(p/q) est une convention de notation

Bien d'accord

, on exige pas que toutes les lois et propriétés des rationnels soient conservées lorsqu'ils sont élevées à la puissance

Cette exigence est un choix. Et discuter des pour et du contre de ce choix serait mettre la discussion sur les rails qu'elle aurait due avoir rapidement.

Et dans ce cadre, l'exigence de conserver les lois et propriétés des rationnel est quand même bien justifiée par ce fil même!

C'est une simple question pratique : combien d'erreurs, de mauvaises compréhensions, d'interrogations inutiles seraient engendrés par des écritures de machins qui s'écrivent comme des rationnels mais qui n'ont qu'une partie des propriétés des rationnels?

Ou encore, quels sont les avantages pratiques par rapport à la notation $\text{[math]}$

Cordialement,

**Matmat** · 05/02/2009, 12h59

Envoyé par Michel (mmy)

... C'est une simple question pratique : combien d'erreurs, de mauvaises compréhensions, d'interrogations inutiles seraient engendrés par des écritures de machins qui s'écrivent comme des rationnels mais qui n'ont qu'une partie des propriétés des rationnels?

Ou encore, quels sont les avantages pratiques par rapport à la notation $\text{[math]}$

Cordialement,

Je suis d'accord que, bien que conventionnel, ce choix de notation n'est pas fait au hasard et est motivé par le fait qu'on puisse appliquer "machinalement" la plupart des propriétés des opérations sur les rationnels, je suis complétement d'accord sur l'interet pratique d'une telle notation, c'est l'exigeance que toutes les propriétés soient conservées que je niaient, par exemple il n'y a pas nécessité d'exiger conservation des limites (enfin il me semble) .

**Matmat** · 05/02/2009, 13h10

Envoyé par Matmat

...je niaient...

me relire avant de poster ... me relire avant de poster .... me relire avant de poster ... me relire avant de poster ....

**Matmat** · 05/02/2009, 13h42

Envoyé par Médiat

Nous sommes d'accord puisque c'est ce que j'ai proposé lors d'une de mes premières interventions

J'applique ta règle :
((-1)²)^1/2 = 1 en faisant les opérations dans l'ordre
((-1)²)^1/2 = ((-1)^2/2 en urilisant une "bonne" formule qui, si elle est fausse, rend la notation trop dangereuse (pourquoi ne pas en utiliser une autre ?).
J'applique ta règle :
((-1)^2/2 = ((-1)^1/1 = -1
de plus, 1/2 * 2 = 2* 1/2, n'est-ce pas.
((-1)^1/2)² n'existe pas(dans IR), et si j'applique ta règle je trouve à nouveau -1.

Je comprend mais avec "ma" règle un nombre négatif ou positif élevé à la puissance 1 est toujours égal à lui meme (sans aucune ambiguité) , et l'égalité de 1 avec p/p n'y change rien.

invité576543 · 05/02/2009, 13h46

Envoyé par Matmat

est motivé par le fait qu'on puisse appliquer "machinalement" la plupart des propriétés des opérations sur les rationnels

Pour moi il y a contradiction totale entre "machinalement" et "la plupart", ce dernier terme étant compris comme "certaines mais pas toutes". La prudence demandée par le "mais pas toutes" est contradictoire avec "machinalement", compris comme "sans avoir besoin de réfléchir" et donc sans avoir besoin d'être prudent.

Cordialement,

**leon1789** · 05/02/2009, 14h38

Il est clair que la notation a^x et la formule (a^x)^y = a^(xy) tendent des pieges à ceux qui les utilisent en toute insouciance : dans cette discussion, on a vu (au moins) trois exemples aboutissant à des calculs faux.

L'emploi de $\text{[math]}$ et de $\text{[math]}$ et le refus d'écrire $\text{[math]}$ peuvent être effectivement être un garde-fou.
Mais par ailleurs, la notation a^x est tellement utilisée (y compris avec a et x nombres complexes !) que je vois mal comment s'en passer.

C'est donc, à mon humble avis, (malheureusement) la formule (a^x)^y = a^(xy) qu'il faut savoir "délimiter" correctement.

invité576543 · 05/02/2009, 14h58

Envoyé par leon1789

Mais par ailleurs, la notation a^x est tellement utilisée (y compris avec a et x nombres complexes !) que je vois mal comment s'en passer.

Pour les complexes, uniquement avec a réel strictement positif.

Suffit de restreindre la notation aux réels positifs et x dans C, ce qui est la pratique courante.

Cordialement,

invite986312212 · 05/02/2009, 15h16

Envoyé par Michel (mmy)

Pour les complexes, uniquement avec a réel strictement positif.

c'est nouveau ça!

invité576543 · 05/02/2009, 16h03

Envoyé par ambrosio

c'est nouveau ça!

Quelle est ta définition pour la notation z^y, avec z et y complexes?

Cordialement,

invite986312212 · 05/02/2009, 16h18

http://mathworld.wolfram.com/ComplexExponentiation.html

**leon1789** · 05/02/2009, 16h19

Envoyé par Michel (mmy)

Quelle est ta définition pour la notation z^y, avec z et y complexes?

Là, on va mettre le doigt dans des choses qui ressemblent à la détermination d'un logarithme (sur le corps C des nombres complexes privé d'une demi-droite contenant 0).

**leon1789** · 05/02/2009, 16h42

Envoyé par Michel (mmy)

Pour les complexes, uniquement avec a réel strictement positif.

Suffit de restreindre la notation aux réels positifs et x dans C, ce qui est la pratique courante.

Je ne crois pas qu'il suffit de restreindre ainsi pour éviter les complications :

Envoyé par leon1789

Un classique aussi : pour réel t , on a $\text{[math]}$

où pourtant e > 0 et $\text{[math]}$ .

invité576543 · 05/02/2009, 16h47

Envoyé par ambrosio

http://mathworld.wolfram.com/ComplexExponentiation.html

Parfait. On a donc une définition de a^r avec a réel négatif et r un rationnel, du moins avec un résultat complexe.

Respecte-t-elle les propriétés exposées par Médiat?

Cordialement,

invité576543 · 05/02/2009, 16h51

Envoyé par leon1789

Je ne crois pas qu'il suffit de restreindre ainsi pour éviter les complications

Tu as raison.

Que reste-t-il comme cas "sans risque"? L'exposant entier relatif (dans tout anneau ?); et a réel positif et x réel...

Cordialement,

invite986312212 · 05/02/2009, 16h52

ah non, l'exponentiation complexe ne vérifie pas a^(bc)=(a^b)^c.

C'est avec la multiplication que l'adjectif "complexe" prend tout son sens.

**leon1789** · 05/02/2009, 18h01

Envoyé par Michel (mmy)

L'exposant entier relatif (dans tout anneau ?)

exposant entier positif pour un anneau
exposant entier quelconque pour un corps

De la puissance d'un entier à celle d'un rationnel

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