Calcul des racines d'une fonction

[invitea821f6eb]

Bonjour,

J'ai un exercice où je dois calculer les racines d'une fonction grâce à deux méthodes, la bissection et Newton-Raphson.
La fonction en question est f(x)= x/2 - sin(x) + π/6 - √(3)/2
Vous trouverez ci-joint la représentation graphique de la fonction.

Le problème est donc... Pour la racine de droite, aucun problème. Le soucis se présente pour la racine de gauche (la racine étant -π/3 si je ne m'abuse).

Etant donné que les valeurs de f(x) autour de la racine sont toutes négatives, je ne peux ni appliquer NR, ni la bissection, non ? En tout cas, dans la pratique, la bissection ne marche tout simplement pas.

NR fonctionne, mais bizarrement. A savoir que normalement, quand une décimale apparaît deux fois consécutivement (exemple 0.123 et 0.124) alors elle est exacte (donc pour l'exemple que je viens de donner, on peut être sûr qu'une troncature de la racine à 2 décimales donne 0.12).
Or là il y a une très lente évolution, mais à la fin le résultat est correcte (après quelques dizaines de milliers d'occurrences). Cependant, dans mon programme, la fonction s'arrête dès que la différence entre Xn et Xn+1 est inférieur à 10^(-nbDec+1), où nbDec est le nombre de décimales correctes voulues (j'en prend une de plus pour faire un arrondi correct).

Par ailleurs, dans le conditions suffisantes pour voir si NR fonctionne, il faut trouver deux valeurs a et b qui entourent la valeur avec f(a)*f(b) < 0 (comme pour la bissection quoi), ce qui est à nouveau impossible à trouver. Cela dit cette condition fait parti des conditions suffisantes, mais pas nécessaires, c'est pour ça que je ne peux pas prouver que NR ne fonctionne pas (et d'ailleurs la preuve, c'est qu'elle fonctionne).

Voilà, j'espère avoir été clair.

Auriez-vous un conseil svp ?
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[invitefa064e43]

ce que tu dis me semble correct... pour NR c'est frustrant de ne pas avoir de point de départ "officiel" puisque toutes les valeurs sont négatives dans cette zone.

Mais sachant que tu as la représentation graphique, et que la méthode converge effectivement vers la racine "soupçonnée", perso je dis que c'est bon, je peux appliquer la méthode NR.

Une autre manière de faire est de dériver tout ça et chercher les racines de la dérivée (avec Newton ou bissection). Ensuite, vérifie qu'elle est aussi racine de la fonction de base. (en effet, pusiqu'il n'y a pas de changement de signe, c'est donc qu'on a un max ou un min, donc un zéro dans la dérivée).

je sais pas si j'ai été très clair....

[invitea821f6eb]

Malheureusement ça ne suffit pas...

Le soucis principal que je rencontre c'est par rapport à mon utilisation de NR, comme je l'ai dit.

Bon je vais prendre un exemple concret.
Admettons que je recherche la racine de x - exp(-x) tronqué à 4 décimales correctes.
J'obtiens le tableau suivant :
M --- x ------------- x - f(x)/f'(x)
0 --- 1 ------------- 0,537883
1 --- 0,537883 ----- 0,572964
2 --- 0,572964 ----- 0,566077
3 --- 0,566077 ----- 0,567342
4 --- 0,567342 ----- 0,567106
5 --- 0,567106 ----- 0,56715

Ainsi, vu qu'il y a eu deux fois de suite 0,5671 (voir la dernière ligne), je peux être sûr que ces 4 décimales-là sont correctes, je peux m'arrêter.
Le soucis, c'est que dans le problème que j'ai énoncé, il y a des décimales qui se suivent, mais elles varient au cours du temps. Par exemple, dans l'exemple, la première décimale (5) est apparue deux fois de suite, on peut être sûr qu'à la millième occurence, ce sera toujours 5. Or, dans le problème présent, ce n'est pas forcément vrai. Comme je l'ai dit, au début j'ai des décimales qui se suivent, mais par la suite elles vont changer, et il faut des dizaines de milliers d'occurrences pour obtenir le bon résultat. C'est comme si ici, pour m = 80000, finalement j'obtenais 0,6 .

Du coup j'ai deux possibilités : soit ceci est dû au fait que je fasse appel à des nombres réels tronqués par l'ordi, ce qui génère donc une imprécision qui se corrige avec le temps, soit j'ai mal compris l'utilisation de la méthode NR.

Donc pour être définitivement clair, mes deux questions sont :
Ai-je bien compris comment se servir de la méthode NR ?
Puis-je prouver qu'il faut utiliser NR au lieu de la bissection dans le cas de cette racine autrement que "la bissection ne marche pas" ?

Voilà... Merci tout de même pour ta réponse.