Conséquence d'une convergence uniforme

[invite7553e94d]

Bonjour,
j'aimerais savoir si dans le cas d'une convergence uniforme on peut passer la limite sous l'intégrale. Autrement dit :

Soient une propriété (à argument dans ... je ne sais pas comment dire mieux cela) et une suite de fonction convergeant uniformément vers telles que

Dans ce cas, est-ce que la propriété suivante est vraie ?



Intuitivement j'ai envie de répondre non, mais je ne sais pas pourquoi. Cela aurait des conséquences étranges (comme l'existante de fonctions partout nulle mais d'intégrale non nulle).

Merci de votre aide.
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[invite4ef352d8]

Ba ca dépend beaucoup de "P" : ca marche si et seulement si {x tel que P(x) } est un fermé de R...


accesoirement : "(comme l'existante de fonctions partout nulle mais d'intégrale non nulle)" une fonction "partout nulle" c'est la fonction nul (il n'y en qu'une ) elle existe, et son intégral est nul...

[invite4ef352d8]

ah non j'ai dit une connerie (j'avais pas vu que tu intégrais sur R tout entier, et pas juste sur un interval broné):

en fait ca ne marche jammais : la convergence uniforme ne permet absolument pas de déduire quoique ce soit sur l'intégrale de f sur une parti non borné.

dans ce genre de situation, il faut des hypothèse dite de "domination" (voir le théorème de convergence dominé)...

bien sur il faut aussi que la propriété P soit fermé, puisque au mieux ce qu'on peut espérer c'est que l'intégrale de fn tende vers l'intégrale de f...

[invite7553e94d]

accesoirement : "(comme l'existante de fonctions partout nulle mais d'intégrale non nulle)" une fonction "partout nulle" c'est la fonction nul (il n'y en qu'une ) elle existe, et son intégral est nul...

D'où le terme "étrange" ... prends par exemple et pour lesquelles une telle implication (mon premier message) aurait des conséquences absurdes.

ah non j'ai dit une connerie (j'avais pas vu que tu intégrais sur R tout entier, et pas juste sur un interval broné):

en fait ca ne marche jammais : la convergence uniforme ne permet absolument pas de déduire quoique ce soit sur l'intégrale de f sur une parti non borné.

dans ce genre de situation, il faut des hypothèse dite de "domination" (voir le théorème de convergence dominé)...

bien sur il faut aussi que la propriété P soit fermé, puisque au mieux ce qu'on peut espérer c'est que l'intégrale de fn tende vers l'intégrale de f...

Merci beaucoup pour ton aide. En effet, sur une partir bornée de cela me semble plus juste. Cela est-il dû au fait qu'une intégrale impropre est, au final, une limite d'intégrale sur les bornes ?

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Quand on travail avec l'intégrale de Lbesgue (ce qu'il faut absoluement faire quand on approche du théorème de convergence dominé) l'intégrale sur R tout entier est défini intrinséquement, sans passer par une limite d'intégrale sur des intervales finis...

c'est lié à un phénomène beaucoup plus simple :

si f est proche de g au sens uniforme (ie |f-g|=< espilon)

alors |intégrale de f - intégrale g | =<intégrale de |f-g| =< epsilon * longeur du domaine d'intégration

si e domaine d'intégration est de longeur fini, alors l'intégrale de f est "proche " de celle de g (et donc quand f->g, l'intégrale de f -> l'intégrale de g), si l'interval d'intégration est de longeur infini on ne peut absolument rien dire...




sinon, dans l'exemple que tu donne, f_n est même pas intégrable...

[invite7553e94d]

Merci beaucoup Ksilver.

sinon, dans l'exemple que tu donne, f_n est même pas intégrable...

Elles le sont au moins au sens de Riemann (La fonction que j'utilise est la fonction échelon, nulle sur et valant 1 sur ).

[invite4ef352d8]

AH, ok, c'est juste qu'il me manquait la définition de U ^^