pgcd

[alexandre21]

bonjour
je cherche a et b supérieur à 0 tel que :

pgcd(a, b)=6
a²b=2^3*34*7

quelqu'un peut il m'aider s'il vous plait
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

tu cherches deux entiers naturels a et b tels que et ? Est-ce bien cela?

Réfléchis sur a, a admet une décomposition en facteur premiers (si il est différent de 0 et 1) alors si tu l'élève au carré les puissances des termes premiers seront paires, à partir de là çà ne devrait plus être trop dur. Si tu as besoin d'aide n'hésite pas.

RoBeRTo

[alexandre21]

desole je cherche en effet a et b tel que :

pgcd(a,b)=6
a²b=(2^3)*(3^4)*7

merci Roberto

[alexandre21]

je crois que j'ai trouvé la solution :

a=6d et b=6d'

donc a²b=(6^3)*d²*d'=2^3*34*7
on divise par 6^3 des deux cotés
donc d²d'=3*7
or d et d' sont entiers donc d=1 et d'=21
a=6 et b=6*21=126

voilà

[A voir en vidéo sur Futura]

[RoBeRTo-BeNDeR]

C'est mieux en effet ^^ alors tu cherches a et b tels que

et

Réfléchissons un peu sur a:

"a" peut donc s'écrire sous la forme

alors
or on a

il faut donc que :
et et

Les cas possibles sont donc vis à vis de chacun des coefficiants : ou , ou ou ,

Dans chaque cas tu connais a et b d'où

il te reste ces 6 cas à traiter vis à vis cette fois de

Fait signe si tu n'arrives pas a conclure

RoBeRTo

[alexandre21]

merci RoBeRTo. Tu m'as beaucoup aidé.
juste une dernière chose
est ce que je peux ecrire que

si a congru 0 (2) et a congru 0 (3) alors a congru 0 (2+3)

en gros si a est un multiple de 2 et de 3 alors c'est un multiple de 6?
mais je ne sais pas si je peux multiplier les modulo

[alexandre21]

faute de frappe
si a congru 0 (2) et a congru 0 (3) alors a congru 0 (2*3)

[RoBeRTo-BeNDeR]

Logiquement si a est un multiple de 2 alors il existe k tel que a=2k,
si a est un multiple de 3 alors il existe k' tel que a=3k'

2 et 3 sont premiers entre eux donc d'après Gauss 2 divise k' et 3 divise k

donc on a bien un k'' tel que a=2.3.k", ce qui est important c'est que 2 et 3 soient premiers entre eux

RoBeRTo

[alexandre21]

merci beaucoup,
j'ai utilisé ta methode et je trouve le même resultat que toi mais ta methode est bien plus rigoureuse.
Et pour Gauss, je n'y ai pas pensé du tout.
Merci beaucoup