Calcul de la somme d'une série

[invite819ed59e]

Bonjour,

Quelqu'un voit il comment calculer la somme de 1 à l'infini dont le terme général est :

x/n + ln(n) - ln(n+x)

Je sais qu'elle est convergente car

x/n + ln(n) - ln(n+x) = x/n + ln(n/n+x) = x/n - ln(1+x/n)

Après un dl à l'ordre 2 on obtient

x/n - x/n + x/2n*2 + o(1/n*2) donc la série converge

Ensuite je pense au téléscopage mais cela ne marche pas bien.

Quelqu'un aurait-il une idée ?
-----

[Armen92]

Bonjour,

Quelqu'un voit il comment calculer la somme de 1 à l'infini dont le terme général est :

x/n + ln(n) - ln(n+x)

Je sais qu'elle est convergente car

x/n + ln(n) - ln(n+x) = x/n + ln(n/n+x) = x/n - ln(1+x/n)

Après un dl à l'ordre 2 on obtient

x/n - x/n + x/2n*2 + o(1/n*2) donc la série converge

Ensuite je pense au téléscopage mais cela ne marche pas bien.

Quelqu'un aurait-il une idée ?

est-il un réel quelconque ?

Si oui, la somme est (sauf erreur), au moins si :

où est la fonction de Riemann. Je ne connais pas la somme d'une telle série, mais peut-être Ramanujan l'a-t-il trouvée !?

Si est un entier, la somme de la série implique la constante d'Euler et une somme pondérée des logarithmes des nombres premiers inférieurs à ...

[invite819ed59e]

x est strictement positif

Sachant que l'on a dans le problème utilisé la constante d'Euler à plusieurs reprise je pensais aussi à l'introduire mais en télescopant le résultat n'est pas top.

[breukin]

[A voir en vidéo sur Futura]