calcul d'une somme de série

[invite18d4427a]

Bonjour à tous !

Je suis en train de lire le cours de physique de Feynman et j'ai besoin de la somme suivante pour un calcul (énergie d'un cristal ionique...) :



Je suis sûr que la série converge d'après le théorème des séries alternées, mais je ne sais pas comment obtenir la somme : est-ce que c'est possible d'utiliser la série de Fourier d'une fonction particulière ? ou bien est-ce que c'est beaucoup plus simple que ça ?

Peut-être qu'on ne peut pas trouver sa valeur exacte... en fait je ne suis pas assez bon en maths pour faire le tri entre ces possibilités ! Quelqu'un aurait une idée ou un conseil à me donner ?

Merci d'avance !
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[Thorin]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28-1%29^n%2F%28sqrt%281%2Bn^2%29% 29

voilà une approximation grossière, mais si wolfram n'arrive pas à la calculer, j'ai peu d'espoir qu'on y arrive.

[invite18d4427a]

Euh j'ai un problème avec ton lien Thorin... je vois apparaître une page avec une zone de saisie mais pas d'approximation ni quoi que ce soit qui ressemble à ma série. Je peux entrer l'expression de la série en LaTeX ? Et d'ailleurs, c'est quoi au juste Wolfram ?

En tous cas ça a tenu Maple en échec... Y'a vraiment aucun moyen de calculer ça explicitement ?

Merci quand même en tous cas !

[breukin]

Il faut aller sur http://www.wolframalpha.com/

et rentrer : sum (-1)^n / sqrt(1+n^2) from n=0 to infinity

On trouve une valeur approchée : 0.559083, mais pas de formule explicite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

Cela dit, en constatant que la série se comporte comme (–1)ⁿ/n, et donc qu'elle converge très lentement, on peut l'accélérer en extrayant ln(2) :

Ensuite, appliqué à n^–2, on utilise :

ce qui donne :

Soit, en utilisant et :

Cette dernière série converge beaucoup plus vite, son terme étant équivalent à

[Coincoin]

Salut,
Mathematica n'arrive à rien non plus (d'un autre côté, je pense que le moteur du site de Wolfram est le même).
Mais physiquement, je ne comprends pas trop le sens de cette série : d'où vient le 1 ?

[invite18d4427a]

OK alors d'abord merci à vous tous pour ces réponses !

Donc si j'ai bien compris, impossible de calculer explicitement la somme mais on peut l'évaluer numériquement (c'est ce que fait Wolframalpha). Ceci dit breukin, je ne vois pas trop à quoi sert ton calcul : on aurait intérêt à accélérer la convergence si Wolfram n'arrivait pas à donner une valeur approchée, non ? De toute façon je n'ai pas bien compris les étapes du calcul : d'où sort le à la fin ? c'est la fonction de Riemann ?

Pour finir Coincoin, je veux bien essayer d'expliquer le pourquoi de la somme mais je crois que le mieux serait d'aller voir Feynman (Électromagnétisme vol. 1, pp. 133-136)

Alors voilà mon explication : le cristal de NaCl est un empilement régulier, tridimensionnel, de sphères que l'on suppose de mêmes dimensions, mais il faut simplement faire alterner dans les trois directions une sphère positive pour Na⁺ et une sphère négative pour Cl^- : d'après Feynman c'est comme un échiquier à trois dimensions (ça te parle ?). Voir par exemple http://upload.wikimedia.org/wikipedi...de_crystal.png

On cherche à calculer l'énergie de dissociation du cristal, càd l'énergie nécessaire pour placer tous les ions à des distances "infinies" les uns des autres, en partant de l'état cristallisé. On commence par considérer l'énergie d'interaction de deux ions de charges q₁ et q₂, càd dans la même logique, l'énergie nécessaire pour les éloigner "à l'infini" l'un de l'autre (au signe près !). Cette énergie vaut :



L'énergie du cristal s'obtient alors par superposition : on considère un ion particulier, mettons un ion Na⁺, et on somme toutes ses énergies d'interaction avec les ions voisins. Sur la ligne de l'ion Na⁺, ça donne :



où a = distance centre à centre entre deux ions et q_e= charge élémentaire
ceci traduit le fait que l'ion Na⁺ considéré est encadré, sur sa ligne, par deux ions Cl^- à la distance a, deux ions Na⁺ à la distance 2a, encore deux Cl^- à la distance 3a etc...
Et si l'on considère les lignes adjacentes, par exemple celle du dessus, il y a les mêmes interactions mais les distances s'obtiennent par Pythagore, d'où les termes que tu vois dans ma série. Le terme apporté par la ligne du dessus est :



C'est pour ça que je voulais calculer la somme !!

J'espère que mon explication de trois kilomètres t'a pas trop rebuté ^^

Merci encore à tous et n'hésitez pas si vous avez d'autres idées...

[Coincoin]

Ok, c'est bien ce que j'avais en tête. Je ne comprenais pas trop ce décalage de 1 : d'habitude, on se contente d'étudier des cristaux unidimensionnels pour simplifier les calculs, et je ne comprenais pas pourquoi tu sommais sur une ligne en étant décalé.

Au final, ce que tu veux, c'est quelque chose comme en enlevant (i,j)=(0,0) (qui ferait tout diverger).
Il me semble que ce genre de calcul n'est pas vraiment facile à mettre en place proprement et dépend de la façon dont tu sommes.Si tu veux en savoir en plus, cherche du côté de "constante de Madelung" et "sommation d'Ewald".

[invite18d4427a]

"pas vraiment facile à mettre en place" c'est rien de le dire !

Merci pour les pistes sur Madelung et Ewald, ça m'a l'air assez prometteur (même si je vais devoir remettre le nez dans mes cours sur Fourier mais bon, on n'a rien sans rien !) : ceci dit c'est quand même très bizarre (je veux dire pas du tout intuitif), cette histoire d'ordre de sommation. Si j'ai bien compris ce que raconte Wikipédia à ce sujet, on ne tombe pas sur la même énergie selon qu'on somme "par cubes" (ce que fait Feynman si je ne m'abuse) ou "par sphères", même si on considère un cristal infiniment étendu dans les trois dimensions !!

Pour l'instant je vais déjà essayer de calculer la formule exacte (qui doit ressembler à la tienne Coincoin, mais avec une triple somme logiquement). Les sphères ça m'a l'air compliqué parce que je ne sais pas comment calculer le nombre d'ions de chaque sorte quand je suis à une distance donnée de l'ion de référence (une idée ?) et de toute façon d'après wiki ça diverge... Je vais tenter les cubes, d'abord sur un plan et après à 3D.

Ceci dit, je ne comprends toujours pas pourquoi on obtient deux valeurs différentes ! Quelqu'un peut m'expliquer ?

[breukin]

Parce que lorsqu'une série est convergente mais pas absolument convergente, l'ordre des termes est essentiel.
Exemple avec la série alternée :

qui vaut ln(2) quand on la somme naturellement, eh bien on peut la faire converger vers n'importe quel réel en modifiant de manière appropriée l'ordre des termes.

[invite18d4427a]

OK, alors j'ai plusieurs questions :

1. Pour cette série, la convergence n'a de sens que si on précise un ordre de sommation : est-ce que ça n'arrive que pour des séries alternées, ou plus généralement, est-ce qu'il y a un critère qui permette de distinguer les séries dont la convergence est "sensible" à l'ordre de sommation des autres séries convergentes ?

2. Comment on peut définir un ordre de sommation ? Parce qu'en fait (désolé si ce que je dis n'a pas de sens) j'ai l'impression ça revient à faire des additions non commutatives, sinon il n'y aurait aucune différence entre les différents ordres de sommation !

Merci de participer à mon édification culturelle mathématique !!

[breukin]

Je ne suis pas certain que ce soit le critère, mais il est certain que la convergence absolue permet l'indépendance de l'ordre de sommation.
C'est l'écriture de la somme qui permet de différencier l'ordre :