série entiere (calcul d'une somme)

[invitea6b00bd7]

bonsoir !

voilà mon probleme : dans un exo, il me disent de calculer une certaine intégrale !
aprés un développement en série entiere, j'arrive à ceci :
f(x)=Somme( [(-1)^n.(2n)!] / [(n!)².a^(2n+1)] )
la somme va de n=0 à n=infini et a=constante>0

je me demande si il y a un moyen de calculer la somme... vous en pensez quoi ?

merci
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[invite57a1e779]

Si j'ai bien compris, il s'agit de calculer .

Je pose , j'ai , donc et la série entière a pour rayon de convergence .

Soit la somme de cette série entière, définie et de classe sur ; on a

D'autre part, pour tout :

,

donc, pour tout dans :

,

et

,

c'est-à-dire :

.

Donc est solution de l'équation différentielle avec la condition initiale , ce qui conduit à :

.

La valeur de la somme de la série est :

.

Si est dans l'intervalle de convergence de la série entière, on a donc :

.

[invitea6b00bd7]

ou là là !!
tu es trop puissant !!

en tout cas, je te remercie pour cette aide précieuse !!!!

[invite57a1e779]

Je pense que l'on doit pouvoir calculer l'intégrale directement, sans passer par la série.

[A voir en vidéo sur Futura]