Bonjour
Je débute dans cette algèbre
1°) On dit E espace vectoriel sur K avec E ensemble des vecteurs et K ensemble des scalaires (ok)
Mais on dit aussi un k-espace vectoriel; alors quel est l'ensemble des vecteurs et l'ensemble des scalaires ?
2°) u=(1,0) et v=(0,1)
IR^2 = Vect(u,v)= x(1,0) + y(0,1) (x,y) dans IR^2
Est ce que IR^2 est généré uniquement par la famille (u,v) ou peut il être généré par une autre famille ?
Merci
L'ensemble des vecteurs est le k-espace vectoriel dont il est question, mais on ne connaît pas son nom propre ; l'ensemble des scalaires est k.Envoyé par kaderben
Il y a tout plein de familles génératrices, par exemple : avecet
Bonjour,
il y a une infinité de famille à deux éléments qui génère lR² , il faut juste que les deux vecteurs soient indépendants c'est à dire l'un n'est pas multiple de l'autre et les deux non nuls.
Essaye de voir dans lR^3 tu comprendra peut-être mieux ces notions pas si simples aux premiers abords. par exemple tu as (1,0,0)(0,1,0)(0,0,1) mais encore une infinité
RoBeRTo
Roberto: dans ton exemple je peux prendre (2,0,0),(0,-3,0),(0,0,4) car ils ne sont pas colineaires 2 à 2 et ne sont pas nuls, c'est ça ou je me trompe ?
Merci
Dans R^3 (et même dans tout espace de dimension supérieure à 2) , il ne suffit pas que les vecteurs ne soient pas colinéaires 2 à 2. Par exemple x=(1,0,0), y=(0,1,0) et z=(1,1,0) ne sont pas colinéaires 2 à 2 pourtant, ils ne forment pas une base de R^3.
Ton exemple [ u= (2,0,0), v= (0,-3,0), w=(0,0,4) ] fonctionne dans ce cas car ces 3 vecteurs sont indépendants(ou libres). C'est à dire que si on a pour a,b,c des scalaires (des réels):
a.u + b.v + c.w = 0,
cela implique que a=b=c = 0.
Dit encore autrement, cela veut dire que tu ne peux pas exprimer un vecteur comme combinaison linéaire des 2 autres. Ce qui n'était pas le cas dans mon exemple du début : on peut écrire : z = x+y
Comme l'as dit sebsheep il faut que les vecteurs soient indépendant ce qui se résume avec deux vecteur en "l'un n'est pas multiple de l'autre" mais avec plus de vecteur en "je ne peux pas trouver de combinaison linéaire de ces vecteurs nulle"
Est ce que (1,0,0)(1,1,0)(1,1,1) est famille qui génère R^3 ?
Est ce que (1,0,1)(0,1,0)(1,1,1) est une famille qui génère R^3 ?
Est ce que (1,1,1)(1,0,0)(0,0,1) est une famille qui génère R^3 ?
Utilise la méthode proposée par Sebsheep avec (a,b,c) car si tu comprend comment procéder sur ces trois exemples plutôt simples çà devrait aller pour la suite en algèbre
RoBeRTo
Bonjour
voici les réponses à Roberto
(1,0,0)(1,1,0)(1,1,1) est famille qui génère R^3
(1,0,1)(0,1,0)(1,1,1) est une famille qui ne génère pas R^3 car les vecteurs ne sont pas indépendants
x+z=0
y+z=0
x+z=0
qui équivaut à x+z=0 et y+z=0 , donc x=y, y=-z d'ou une infinité de solutions
(1,1,1)(1,0,0)(0,0,1) est une famille qui génère R^3
Est ce que c'est ça ?
Merci
Voilà çà me parait juste. Si tu as des difficultés en Algèbre ne le les laisse pas s'accumuler. Essaye de t'approprier les notions.
RoBeRTo
Justement il y a des choses qui ne me paraissent pas évidentes
exemple:
intuitivement, peut on dire que:
1°)
Vect(1) = IR, est la droite vectorielle euclidienne
Vect((1,0),(0,1)) = IR^2, est le plan vectoriel euclidien
Vect((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) = IR^3, est l'espace vectoriel euclidien
et par la même occasion:
IR est un sous espace vectoriel de IR^2
IR^2 est un sous espace vectoriel de IR^3
IR est un sous espace vectoriel de IR^3
2°)On sait la signification physique(si j'ose dire) des espaces vectoriels ci dessus, mais IR^4, IR^5,...,IR^n ont ils une signification physique ? Sont ils des espaces euclidiens ? Je ne pense pas!
Merci
Oui
Non, on peut dire que R est isomorphe à un sous espace de R². R et R² sont complètement différents ; par exemple, R est isomorphe à {0}xR, qui est un sous espace de R².et par la même occasion:
IR est un sous espace vectoriel de IR^2
IR^2 est un sous espace vectoriel de IR^3
IR est un sous espace vectoriel de IR^3
Mais bon, en pratique, on fait l'identification {0}xR = R, justement car ces 2 espaces sont isomorphes, mais c'est un abus !
Pour R^n, effectivement, c'est difficile d'avoir une représentation "physique". Le plus simple est de ne pas y penser et se faire des représentation dans R^3 (voire R²) pour comprendre ce qui se passe.2°)On sait la signification physique(si j'ose dire) des espaces vectoriels ci dessus, mais IR^4, IR^5,...,IR^n ont ils une signification physique ? Sont ils des espaces euclidiens ? Je ne pense pas!
Merci
Par contre, R^n est bien un espace euclidien : un tel espace est un R-ev de dimension finie qui possède un produit scalaire ; c'est bien le cas de R^n, en prenant :
comme produit scalaire.
Merci pour les réponses.
Ce qui me fait dire, par exemple, que
IR^2 est un sous espace vectoriel de IR^3 c'est l'exemple suivant:
Soit E={(x,2x,y)/(x,y) de IR^2}
E=x(1,2,0)+y(0,0,1), E est l'ensempble des combinaisons linéaire de vecteurs de IR^3, donc E est un sous espace vectoriel de IR^3
Pour moi, E est combinaison de 2 vecteurs, donc E=IR^2
En effet je m'aperçois que les deux veteurs ne sont pas indépendants !
L'exemple que tu donnes est bien un espace de dimension 2, engendré par 2 vecteurs indépendants. On peut donc "le voir" comme R², mais ce n'est pas R².
Une raison simple : tes éléments de E sont des vecteurs qui ont 3 coordonnées. Or dans R², les vecteurs n'ont que 2 coordonnées ; on ne peut donc pas dire rigoureusement que E=R². (pour que deux ensembles soient égaux, il faut qu'ils possèdent exactement les même éléments ; ici, les éléments ne sont même pas du même "type").
Comme je l'ai dit, plus on peut par contre écrire
Merci pour la réponse
Encore un petit problème de compréhension
La notation (a,b,c,..) différent de (0,0,0,...) signifie que tous les scalaires a,b,c,... sont tous non nuls ou bien au moins un non nul
voici un exemple sur un livre:
si la famille (u,v) est liée et u non nul alors il existe a scalaire tel que
v=au (colinéarité)
démonstration:
si la famille (u,v) est liée alors il existe (a,b) différents de (0,0) tel que
au+bv=0
Si b différent de 0, au=0 etc...
Ce que je n'ai pas compris, pourquoi on repose la condition "Si b différent de 0" alors que c'était précisé en début, d'ou ma question du
début du message.
Merci
Cela signifie que au moins un est non nul.
En effet, dire que (a,b)=(0,0), c'est dire que (a=0) et (b=0). Donc
non( (a=0) et (b=0) ) ; et d'après la loi de morgan, cela revient à
non(a=0) ou non(b=0); ce qui revient encore à
Je pense que cela te suffira pour ta question.
Bonne démonstration, merci
un autre problème:somme de sous espaces vectoriels de E
F1,F2,F3,...,Fp sev de E (p>=2)
L'ensemble des vecteurs de E de la forme u=Somme(i=1 à p de Ui),Ui de Fi, est appelé Somme des p sev Fi, noté F1+F2+F3+...+Fp
donc u=U1+U2+U3+...+Up est la somme des sev
mais il peut y avoir un vecteur v de E qui peut s'écrire
v=Somme(i=1 à p de Vi),Vi de Fi
v=V1+V2+V3+...+Vp qui est une autre somme
Ce que je ne comprends pas: est ce que F1+F2+F3+...+Fp est désignée par u ou par v ou cela n'a pas d'importance et on peut choisir notre somme comme on veut mais ça ne me parait pas normal
Merci
Bonjour, fait attention!!
Pour faire simple soient A et B deux sous espaces vectoriel de E alors on note :
Par exemple :
avec
RoBeRTo
bonjour Roberto
Dans ton exemple :IR.(1,0)+IR.(0,1)=IR^2
A=IR.(1,0) et B=IR.(0,1), c'est ça ?
Peut on écrire: A=a(1,0) et B=b(0,1), avec (a,b) de IR^2 ?
Si je comprends bien, A+B est la réunion des 2 droites vectorielles qui donne IR^2 qui est un plan vectoriel.
Merci
Voila!
Surtout pas A=a.(1,0) (celà veut dire que A est un vecteur ) non
Sinon comme je t'ai dit nickel là fin de ton message.
Pour voir si tu as compris détermine moi :
et
En essayant de me justifier un minimum car si tu as faux pour que l'on puisse te faire comprendre pourquoi. En gros cela revient au même exercice que celui que je t'ai proposé plus haut mais avec un langage différent.
Pour finir essaye de me dire quel est la dimension de
avec u,v, et w des vecteurs de
RoBeRTo
Voici les réponses aux exos que Roberto m'a donnés à faire
x,y,z réels
1°) x(1,-1)+y(-1,1)=(x-y)(1,-1) donc droite vectorielle de vecteur directeur (1,-1)
2°) On remarque que (1,1)=(1,0)+(0,1) donc ces vecteurs sont liés;
donc on peut prendre comme base canonique de IR^2{(1,0),(0,1)}
d'ou plan vectorielle mais je ne suis pas sûr !
On peut aussi écrirex,0)+(0,y)+(z,z)=(x+z,y+z) mais je ne sais pas conclure
3°) On démontre que (1,0,0),(0,0,1) et (1,1,1) sont linéairement indépendants donc on peut penser qu'ils génèrent IR^3 à condition que cette famille soit génératrice, mais comment le démontrer ?
J'essaye: soit un vecteur (a,b,c) de IR^3, existe-t- il (x,y,z) de IR^3 tels que (a,b,c) soit combinaison linéaire des vecteurs de la famille ?
donc a=x+z et b=z et c=y+z
On obtient:z=b, x=a-b, y=c-b donc (x,y,z) existe et on a bien un IR^3
On peut aussi écrire
4°) On démontre de la même façon que la famille est libre et non génératrice. Que peut on conclure ?
On peut aussi écrire: (2x,x,0)+0,y,2y)+(z,z,z)=(2x+z ,x+y+z,2y+z) mais que conclure ?
Pour le dernier exo, je n'ai pas encore abordé les dimension d'espaces vectoriels
Merci
Ben çà a l'air pas mal. Garde tes démonstrations où tu cherches à écrire un vecteur en coordonnée dans la base canonique dans celle que je te donne c'est sûrement là les meilleurs. Enfin çà montre que tu as compris. Pour la 4)
(2,1,0)+(0,1,2)=2.(1,1,1) d'où les vecteurs sont liés donc (2,1,0) et (0,1,2) génère un plan vectoriel de vecteurs directeurs (2,1,0) et (0,1,2)
donc un plan en équation cartésienne du type :
ax+by+cz=0 (car un sous espace vectoriel passe toujours par 0)
donc cherche à trouver l'équation de ce plan sachant que (2,1,0) et (0,1,2) sont dedans.
Pour le dernier je te demande en gros de me dire si c'est une droite, un plan ou tout lR^3 qui est généré.
Une droite si tes 3 vecteurs sont tous proportionnels du genre u=a.v=b.w
Un plan si (comme dans le cas précédent) ils sont tous les 3 liés du genre w=a.u+b.v mais que u et v ne sont pas proportionnels.
Et lR^3 si les 3 sont indépendants.
Donc ceci est un cas général tu peux l'appliquer aux questions précédentes
Mais je laisse loisir à ton prof de mieux l'expliquer que moi
RoBeRTo
Merci pour tout
Je n'ai pas de prof car je ne suis pas scolarisé, je suis autodidacte...
1°)
Voici l'équation du plan du 4°)
soit w=u^v (produit vectoriel) donc w orthogonal au plan et (0,0,0) est un point du plan et M(x,y,z) du plan, donc OM.w=0 (produit scalaire), on obtient-2y+z=0
2°) soit un cube OABCDEFG, OABC face frontale et sans faire de calculs
dans le repère(O,OA,OD,OC), Peut on dire que:
-la droite vectorielle (OF) ,qui contient la diagonale, est un sev de
IR^3 ?
-la droite (OB) ,qui contient la diagonale [OB] de la face frontale,
est un sev de IR^3 ?
dans le repère(O,OA,OC), Peut on dire que:
-la droite (OB) ,qui contient la diagonale [OB] de la face frontale,
est un sev de IR^2 ?
C'est surtout sur ces petites choses, entre autres, que j'ésite.
Merci
Pour le plan ça semble correct! (Par ailleurs excuse moi je n'avais pas vu ton âge! même si à 47 ans il y en a toujours qui foule les trottoirs de faculté )
Pour (OF) oui on le peut et si je voit bien alors
de même
Dans la face OABC généralisée soit le plan généré par cette face qui est un sous espace vectoriel de R^3 qui est :
Voici un exo et sa réponse sur le site de Jussieu.fr
E ev, F et G sev de E
F={ (x,y,z) de IR^3 / x=0} ;G ={ (x,y,z) de IR^3 / y=0}
On veut montrer que F+G=IR^3
Par définition de F+G, tout w de F+G est dans IR^3
Réciproquement, w=(x,y,z) est dans IR^3,
w=(x,y,z)=(0,y,z)+(x,0,0), donc w dans F+G, d’ou F+G=IR^3
Je ne sais pas s’il y a des calculs intermédiaires qui manquent !
Voici ma réponse :
1°)
u=(0,y,z) de F et v=(x,0,z) de G
u+v=(x,y,2z)=x(1,0,0)+y(0,1,0) +2z(0,0,1), est ce que u+v est dans IR^3 ? ce qui me gène c’est le 2 qui multiplie z , ( (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) )est bien la base canonique de IR^3
Réciproquement, si w=(x,y,z) dans IR^3, alors w= x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1) dans F+G ou non ? toujours à cause de ce 2 devant le z
Je ne sais pas si je peux conclure ou non.
2°)
J’ai remarqué, dans d’autres exemples, q’on dit indifféremment : pour tout u de E ou bien, pour tout u de F+G.
Mais u de E n’est pas forcément dans F+G dans le cas général ? Ou je me trompe !
3°) Comment enregistrer un message dans le brouillon et le rappeler ?
Merci
Donc pour la 1) on a bien F dans E et G dans E donc F+G dans E
Soit (x,y,z) de E on a bien (0,y,z) dans F et (x,0,0) dans G donc comme
(x,y,z)=(0,y,z)+(x,0,0) donc on a bien tout vecteur de E qui se décompose sur F et G donc E est inclus dans F+G
(Il faut juste trouver une décomposition sur F et G)
donc E=F+G
2) On dit indifféremment pour tout u de E et, pour tout u de F+G? quand on dit pour tout u de E c'est que l'on prend un vecteur quelconque de E, et le nom "u" ne permet juste que de l'appeler car sinon cela deviendrai difficile. On peut donc de même faire pour F+G car le "u" ne représente pas un vecteur fixé mais une vecteur quelconque qu'on appelle.
Par exemple pour tout x entier relatif, 2x est pair.
Pour tout x de R, x est un élément de C.
(Si j'ai bien compris ta question )
et pour la dernière pas la moindre idée
Merci pour les réponses
Voici un exo et la réponse dans un livre d’algèbre linéaire
(u,v) une famille libre de E. On veut démontrer que Vect(u)+Vect(v) est une somme directe.
Soit x de Vect(u) inter Vect(v), donc existe (a,b) de IR^2 tel que x=au=bv, par suite au-bv=0
Donc a=b=0
D’ou x=0 et Vect(u)+Vect(v) inclus dans {0}.
Comme {0} inclus dans Vect(u)+Vect(v), Vect(u)+Vect(v)={0}
Pour moi : puisque x=0 alors Vect(u) inter Vect(v) = {0}, donc Vect(u)+Vect(v) est somme directe. Je n’ai pas du tout compris la fin et Vect(u)+Vect(v) = {0} me paraît faux ! Ou peut être je n’ai pas tout saisi.
Merci
Bonjour,
x qu appartient à vect(u) inter vect(v) donc il s'écrit sous la forme a.u ou b.v comme c'est marqué plus haut car vect(u)=K.u avec K le corps sur lequel est basé l'espace vectoriel c'est donc l'ensemble des multiples de u de même pour vect(v). alors x=a.u=b.v donc a.u-b.v=0 or u et v sont libre donc tout combinaison linéaire de ces deux vecteurs est nulle si tous les coefficients sont nuls. Donc on a "a" et "b" nuls.
d'où x=a.0=b.0=0 le vecteur nul. Or on sais que dans ton espace vectoriel il y a le vecteur nul donc Vect(u) inter Vect(v) ={0} il ne peut y avoir que le vecteur nul dans cette intersection. Cela veut dire que tout vecteur de Vect(u)+Vect(v) se décompose de manière unique sur Vect(u)+Vect(v) de la manière suivante :
x=a.u+b.v par exemple dans R² on peut considérer R.(1,0)+R.(0,1) qui est bien en somme directe et tout vecteur se décompose de manière unique dans R² suivant la base canonique. Mais on peut aussi prendre R.(1,0)+R(1,1) qui est aussi en somme directe. Ceci rejoint la notion de Base d'un espace vectoriel et la dimension. Par exemple si u et v sont indépendants tu sais que vect(u)+vect(v)=vect(u,v) est un plan, les dimension s'additionne dim(Vect(u))=1 car elle est engendrée par 1 seul vecteur et dim(vect(v))=1 aussi. donc dim(vect(u,v))=2 car vect(u)+vect(v) est en somme directe.
Par exemple si on (u,v,w) une famille libre d'un espace vectoriel alors de même on serait dans le cas d'une somme directe vis à vis des espaces qu'ils engendrent. Vect(u)+Vect(v)+Vect(w) est en somme directe et forme un espace de dimension 3.
J'espère ne pas avoir pris d'avance vis à vis de ce que tu as appris.
RoBeRTo
Salut Roberto
J'ai compris ce que tu as écris
Mais pourquoi la réponse de l'auteur ne s'arrête pas lorsqu 'il a prouvé que Vect(u) inter Vrct(v)={0}, d'ailleurs comme toi;
et il a continué avec’ou x=0 et Vect(u)+Vect(v) inclus dans {0}.
Comme {0} inclus dans Vect(u)+Vect(v), Vect(u)+Vect(v)={0}
Vraiment Vect(u)+Vect(v)={0} ? Ou est ce une faute de frappe en voulant ecrire Vect(u) inter Vect(v)={0}
Merci
Je ne comprend pas pourquoi vous dite que vect(U)+vect(V)={0} ... au contraire c'est un plan vectoriel !!
Cet ensemble contient 0 bien sûr mais aussi u et v donc il est non réduit à 0.
Cet ensemble est réduit à 0 si et seulement si u et v sont nuls, mais alors ils sont liés ce qui contredit nos hypothèses de départ.
Si vous ne comprenez toujours pas recopiez moi votre intitulé d'exercice et je vous aiderai du mieux que je pourrai.
RoBeRTo
Bonjour Roberto
Ce n’est pas moi qui ai écrit Vect(u)+Vect(v)={0}, c’est l’auteur qui l’ai écrit dans sa démonstration et voici l’exo et la démonstration de l’auteur :
(u,v) une famille libre de E. On veut démontrer que Vect(u)+Vect(v) est une somme directe.
Démonstration de l’auteur :
Soit x de Vect(u) inter Vect(v), donc existe (a,b) de IR^2 tel que x=au=bv, par suite au-bv=0
Donc a=b=0
D’ou x=0 et Vect(u)+Vect(v) inclus dans {0}.
Comme {0} inclus dans Vect(u)+Vect(v), Vect(u)+Vect(v)={0}
Donc je t’ai dit, je n’ai pas compris pourquoi l’auteur écrit : Vect(u)+Vect(v)={0}, à moins que ce soit une faute de frappe, c’est à dire il voulait écrire : Vect(u) inter Vect(v)={0},
Merci
effectivement, c'est bien une faut de frappe. Il faut lire "inter" et non "+".
