Développements limités et équivalents

[inviteb3149507]

Bonjour,

Je souhaite trouver un équivalent en 0 de f=g/h.
g(x) = cos(x²)-1 et h(x)=sqrt(1-2x)-sqrt(1+3x)
Je n'ai pas de mal à calculer les DL mais comment savoir l'odre du DL de g et h pour avoir le bon équivalent?
Merci
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[NicoEnac]

Bonjour,

Je souhaite trouver un équivalent en 0 de f=g/h.
g(x) = cos(x²)-1 et h(x)=sqrt(1-2x)-sqrt(1+3x)
Je n'ai pas de mal à calculer les DL mais comment savoir l'odre du DL de g et h pour avoir le bon équivalent?
Merci

Eh bien l'ordre qui suffit à lever l'incertitude.

[NicoEnac]

Et plus précisément : cos(x²) - 1 va donner : -x⁴/2 + o(x⁶) donc je m'attends à ce que tu développes le dénominateur jusqu'à obtenir la même puissance.

[NicoEnac]

Décidément, j'en dis des bêtises aujourd'hui...
Je maintiens ce que j'ai dit pour le numérateur. Par contre un DL jusqu'à la première puissance dont les coefficients ne s'annulent pas entre sqrt(1+2x) et sqrt(1+3x) suffit.
Si n > 4, alors la fonction tend vers l'infini.
Si n<4, elle tend vers 0
Si n=4, elle tend vers le quotient des coefficients de x⁴ au numérateur et celui au dénominateur.

Encore désolé pour mes réponses précédentes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb3149507]

J'ai fais comme vous avez dit : cos(x²)-1=-(x^4)/2 + o(x^4)
Et sqrt(1-2x) - sqrt(1+3x) = (x^3)/5 + o(x^3)

Je trouve donc pour équivalent (x^3)/5 ce qui est la réponse attendue, mais je ne comprends toujours pas pourquoi on ne pousse pas plus loin le DL du dénominateur?

[NicoEnac]

Tu peux toujours pousser le DL plus loin mais la technique ensuite est de factoriser au numérateur et au dénominateur par la plus petite puissance (on cherche la limite en 0 pas en l'infini hein ) faire tendre tout ça vers 0. En haut, il s'agit évidemment de x⁴ et en bas x. Donc tu te retrouves avec x³ au numérateur et a + trucmuche.x + machin.x² + .... jusqu'à la puissance que tu veux qui va tendre vers a ! Et comme le numérateur tend vers 0, le tour est joué.

Conclusion du pavé que je viens d'écrire, s'arrêter à la première puissance qui fait que sqrt(1+2x) et sqrt(1+3x) ne s'annulent pas suffit à ton bonheur.

[inviteb3149507]

Ah voilà j'ai enfin compris

Merci bien!

[invited7e4cd6b]

Et sqrt(1-2x) - sqrt(1+3x) = (x^3)/5 + o(x^3)

Vous en etes sur? Car j'ai trouve autre chose ^^

[inviteb3149507]

Peut être un signe - devant je me rappelle plus ce que j'ai trouvé mais il me semble que c'était ça.