Je vous prouve que la série 1/n converge !

[DarK MaLaK]

Bonjour, j'espère avoir mis un titre assez accrocheur pour attirer l'attention de mathématiciens déjà indignés et révoltés par mes propos.

En fait, je voulais faire un petit calcul et j'ai abouti à un paradoxe. On considère un segment de longueur D (D pour diamètre). A partir de ce segment, on trace un demi-cercle de périmètre . A partir de ce même segment D, on peut tracer deux demi-cercles de même périmètre et on remarque que leur somme vaut . Je cherche à augmenter au maximum le nombre n de demi-cercles pour essayer de comprendre pourquoi l'idée intuitive qu'on pourrait avoir, lorsque n tend vers l'infini, que la somme des petits périmètre va tendre vers D en s'aplatissant doit être fausse...

Donc je reprends mon calcul, par "récurrence" :




Là, je passe à la limite et j'obtiens :




Voilà, j'ai dû faire une erreur de raisonnement toute bête quelque part mais, comme je ne la vois pas, je préfère faire appel à vous pour être sûr d'avoir une explication claire.
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[Médiat]

Là, je passe à la limite

Quel théorème vous autorise à passer ainsi à la limite ?

[invite1e1a1a86]

Par "récurrence", on obtiendrait pas plutôt:
(ce qui il est vrai n'a pas d'interêt...)

par exemple, pour n=3, on n'a pas P1=P1+P2+P3 mais bien P1=3P3

[invitebe0cd90e]

Tu ecris:

puis

P_1= \sum_{i=1}^n P_i \ avec \ P_i=\frac{\pi D/i}{2}[/TEX]

Est tu sur que c'est la meme chose au hasard, essaie d'appliquer ta "formule generale" pour n=2 ??

Ce que tu "prouves" en realité, c'est que


ou dit autrement en enlevant l'histoire inutile des perimetres :


le terme dans la somme depend de n, et non de i, evidemment....

donc tu as... une suite constante, et tu en deduis qu'elle converge

[A voir en vidéo sur Futura]

[DarK MaLaK]

Par "récurrence", on obtiendrait pas plutôt:
(ce qui il est vrai n'a pas d'interêt...)

par exemple, pour n=3, on n'a pas P1=P1+P2+P3 mais bien P1=3P3

C'est exact mais cette façon d'écrire ne me conduisait à rien, alors j'en cherchais un autre.

Quel théorème vous autorise à passer ainsi à la limite ?

Aucun à ma connaissance.


jobherzt -> Tout à fait, c'est bien mon erreur d'avoir mal noté mon indice !


Merci de votre aide... Mais avez-vous une solution (un calcul) par rapport au fait qu'on pourrait penser que lorsque n tend vers l'infini, alors les périmètres ont tendance à s'aplatir (les aires diminuant) jusqu'à ce que leur somme soit égale à D ?

[invite00970985]

Ce résultat est clairement faux : tu le montres toi même avec ton . Lorsque tu sommes tous tes périmètres, tu obtiens de nouveau pi*D/2, et ta suite (la suite de la somme des périmètres) est constante.

Et ... une suite constante ne va pas converger vers autre chose que sa valeur .

[DarK MaLaK]

Ah c'est tout ? je pensais que c'était un peu plus subtil... Je n'avais pas l'impression de montrer grand chose en écrivant ça !

[invitebe0cd90e]

Non, a ta decharge, il y a bien quelque chose de subtil. COmme le dit Sebsheep, ce que tu enonces est faux. Mais je comprends qu'intuitivement, puisque tu construis une courbe "de plus en plus proche" du segment qui materialise le diametre de ton cercle de depart, tu t'attends a ce que la suite des longueurs des courbes que tu construis tende vers D.

Si cette intuition est fausse, c'est simplement, dis grossierement, parce que la fonction "longueur" n'est pas continue. DOnc meme si tu construis une suite de courbes qui converge vers un segment, la longueur dudit segment n'est pas forcement la limite des longueurs de tes courbes.

[invite00970985]

Non, a ta decharge, il y a bien quelque chose de subtil. COmme le dit Sebsheep, ce que tu enonces est faux. Mais je comprends qu'intuitivement, puisque tu construis une courbe "de plus en plus proche" du segment qui materialise le diametre de ton cercle de depart, tu t'attends a ce que la suite des longueurs des courbes que tu construis tende vers D.

Si cette intuition est fausse, c'est simplement, dis grossierement, parce que la fonction "longueur" n'est pas continue. DOnc meme si tu construis une suite de courbes qui converge vers un segment, la longueur dudit segment n'est pas forcement la limite des longueurs de tes courbes.

Hum, je n'avais pas vu cette subtilité ... tu mets quelle topologie sur quel ensemble ?

Tu prends l'ensemble des compacts de R² que tu munis de la distance de Haussdorf pour parler de continuité et de convergence ? Et ton application "longueur" serait définie sur l'ensemble des compacts d'intérieurs vide, muni de la topologie induite ?

[invitebe0cd90e]

Disons que j'essayais de coller a son intuition. COmme elle est fausse, si j'avais formalisé ca il aurait fallu le convaincre que la formalisation recouvrait bien la notion "visuelle" de courbe de plus en plus proche.

Pour ecrire ca proprement tu peux te contenter de prendre les fonctions C_0 de [0,1] dans R^2, je pense.

[DarK MaLaK]

Pour ecrire ca proprement tu peux te contenter de prendre les fonctions C_0 de [0,1] dans R^2, je pense.

Salut, je n'arrive pas à comprendre pourquoi ? Tu veux dire que tu prends la longueur L dans l'intervalle [0;1] ? Mais pourquoi vers R^2 ? Et ce sont des fonctions continues mais non dérivables ? Pourtant, on n'observe pas vraiment de "pics" sur les points entre deux demi-cercles...

[invitebe0cd90e]

Non, je ne prends pas la longueur dans [0,1]. je dis que les courbes que tu obtiens peuvent etre representées par des fonctions continues de [0,1] dans R^2.

Et si, sur un point qui joint deux demi cercles il y a bien un "pic" chaque demi cercle est une fonction derivable, mais il y a ces pics justement.

[invited7e4cd6b]

Bonsoir,
Personnellement , j' aime votre raisonnement lol . Tres agreable comme idee mais je pense que le seul probleme est celui du passage a la limite ... De cette demo, peut-on dire que le perimetre de tout demi cercle est infini ?xD

[invited7e4cd6b]

... \\



.

Voila la faute ...

[NicoEnac]

Bonjour,

Un bon exemple qui montre qu'il ne faut pas se fier au dessin

Un autre : comment se déplacer du point (0,0) au point (1,1) ?

Je me déplace d'abord selon l'axe des abscisses puis selon l'axe des ordonnées (0,0) -> (1,0) -> (1,1). J'ai parcouru une distance de 2.

Ensuite je décide de parcourir 0.5 sur l'axe des abscisses puis 0.5 sur les ordonnées puis 0.5 sur les abscisses et enfin 0.5 sur les ordonnées (0,0) -> (0.5,0) -> (0.5,0.5) -> (1,0.5) -> (1,1).

En répétant cette division du chemin entre les points (0,0) et (1,1), on voit que je tends vers la ligne diagonale en suivant la droite y=x. Je m'attends donc que la suite représentant la distance parcourue tende vers . Et pourtant...

[invited7e4cd6b]

Bonjour,

Un bon exemple qui montre qu'il ne faut pas se fier au dessin

Un autre : comment se déplacer du point (0,0) au point (1,1) ?

Je me déplace d'abord selon l'axe des abscisses puis selon l'axe des ordonnées (0,0) -> (1,0) -> (1,1). J'ai parcouru une distance de 2.

Ensuite je décide de parcourir 0.5 sur l'axe des abscisses puis 0.5 sur les ordonnées puis 0.5 sur les abscisses et enfin 0.5 sur les ordonnées (0,0) -> (0.5,0) -> (0.5,0.5) -> (1,0.5) -> (1,1).

En répétant cette division du chemin entre les points (0,0) et (1,1), on voit que je tends vers la ligne diagonale en suivant la droite y=x. Je m'attends donc que la suite représentant la distance parcourue tende vers . Et pourtant...

Agreable ton exemple, j'aime