Dérivabilité d'une fonction

[invite7675a4dc]

Bonsoir à toutes et à tous,
J'ai f(x)=x²cos(1/x) et doit étudier sa derivabilité.

J'imagine que je dois passer par le nombre dérivé et prouver que la fonction est continue. Cependant, je crains ne pas avoir très bien compris à quoi il sert.
Je vois juste que si la limite du nombre dérivé en x0+ et en x0- sont les mêmes alors la fonction est continue et dérivable en x0. Mais je ne vois pas comment je peux prouver que la fonction est continue et dérivable sur R grâce à ce nombre dérivé.

Je me mélange sans doute les pinceaux... si vous pouviez m'éclairer...
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, ta fonction est prolongeable par continuité en 0 en posant f(x)=0 donc prenons celle ci comme définition, elle est donc continue sur R.
Or ta fonction est à priori dérivable sur R* mais pas en 0. Il faut donc que tu regarde si la limite en 0 de (f(x)-f(0))/x existe. Si elle existe alors ta fonction est dérivable sur R si je ne me trompe pas car dérivable en 0 et sur R* donc sur R.

[invite7675a4dc]

Oui, j'ai essayé comme ca.
On à (f(x)-f(0))/x=xcos(1/x), mais j'arrive pas à trouver de limite en 0, puisque cos(1/x) n'a pas de limite en 0 (cos(infini) n'a pas de limite si je ne m'abuse...)

[RoBeRTo-BeNDeR]

cos est borné et x tend vers 0 donc xcos(1/x) tend vers 0 d'après le théorème des gendarmes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Oui, mais est borné, et on a que

Donc quelle est la limite de
quand x tend vers 0?

Edit : grillé

[invited7e4cd6b]

Bonsoir,
Pour étudier la dérivabilité d'une fonction, on utilise les propriétés des fonctions usuelles suivant les domaines de définition de celles-ci.
Les cas a étudier sont les points se trouvant aux bords des intervalles formant le Domaine de définition (sauf pour - et + l'infini bien sur ); ces points ou la fonction n'est pas defini comme pour 0 d'après votre fonction.
Ces cas demandent une certaine habileté et techniques de résolution de limites (DL ou autres)

[invite7675a4dc]

Oui mais le problème est que je n'ai pas encore vu le dévelloppement limité (et que je ne suis pas très habile avec les chiffres...). =)

Et au final, comment peut on trouver la limite de xcos(1/x) en 0?!

[Seirios]

RoBeRTo-BeNDeR t'as donné la solution : ne peux-tu pas majorer d'une manière avantageuse ?

[invite7675a4dc]

Ha mais je pensais que je ne pouvais pas! (selon Tryss).

Sinon j'avais fais -1<cos(1/x)<1, donc -x<xcos(1/x)<x. Quand x tend vers 0, d'après Th. des gendarmes, xcos(1/x) tend vers 0.

[Seirios]

Je ne vois pas où Tryss t'a dit que tu ne pouvais pas faire cela

Une remarque sur ce que tu as écrit : c'est correct lorsque x>0, donc tu trouves que la limite vaut 0 lorsque ; pour être rigoureux, il faudrait refaire ce que tu as écrit en supposant que x<0 (et tu trouverais le même résultat, d'où on déduit que la limite est bien nulle). Sinon, le plus simple est de travailler avec des valeurs absolues, ce qui permet d'éviter de distinguer deux cas.

[invite7675a4dc]

Haaaa, ok, c'est donc l'histoire des valeurs absolue qui m'a troublé.

Merci beaucoup.