demonstration limite xln(x) en +l'infini

[invited7e4cd6b]

Bonjour,

Tout est dans le titre, quelqu'un aurait une bonne demonstration ?
J'ai essaye les Developpement limite mais aucun resultat .
Merci d'avance.
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[invited7e4cd6b]

Dsl c'etait en 0 non pas en linfini .
J'ai pense au theoreme dinterversion serie et integrale mais bon je n'ai pas bien etudier ce theoreme . Donc une demo niveau L1 serait meilleur ^^

[invite371ae0af]

essaye un changement de variable en posant X=lnx

[invite371ae0af]

sinon tu peux utiliser le théorème des gendarmes sur ]0,+inf[ (mais je suis pas très sûr, à confirmer si on peut choisir un intervalle comme ca)

0<xlnx<xe(x). Donc quand x tend vers 0 la limite de xlnx vaut 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited7e4cd6b]

Bonsoir,
Merci pour la reponse 369
Mais en faisant un changement de variable je suis sense redemontrer que la lim en - l'inf de est nulle et ainsi de suite ... Je ne finirais jamais.
Pour le Th des gendarmes qui te dis que
Cordialement ,

[invite332de63a]

Bonjour,
x.ln(x)>0 est faut pour x appartenant à ]0,1] par exemple 1/2.ln(1/2)=-ln(2)/2<0. Pour le changement de variables tu te ramène à la limite de en remarquons que l'on ne peut définir le logarithme que des nombres positifs alors notons x=-(-x) au voisinage de donc il te reste à montrer que tend bien vers . Bonne chance

[invite4ef352d8]

Pour le fait que x.exp(-x) tend vers 0 en l'infini on peut le faire à la main...

par exemple pose f(x)=x.exp(-x)

f'(x) =exp(-x).(1-x)=exp(-x) -f

donc f est décroissante positive pour x>1, en particulier f converge vers une limite l>=0
et f' tend vers -l aussi. si l est différent de 0 c'est contradictoire (f'->-l => f'<-l/2 apcr => que f décroit au moins que -lx/2 àpcr => f négative apcr... )

[invite9617f995]

Si on met xln(x) sous la forme ln(x)/(1/x), la règle de l'Hôpital nous permet de conclure non ?

[invite2bc7eda7]

Bonsoir

0<xlnx<xe(x). Donc quand x tend vers 0 la limite de xlnx vaut 0

Clairement faux...

lnx<0 quand x<1...

[EDIT] : j'avais pas vu le commentaire de RoBerto-Bender désolé

[invited7e4cd6b]

Bonsoir,
En effet l'hôpital cava ^^