Bonjour à tous,
J'aimerais avoir votre avis sur la signification profonde des dx qu'on utilise, que ce soit en physique ou en mathématiques.
En géométrie différentielle, on définitcomme étant la forme linéaire tel que
, où
est la base canonique de l'espace tangent.
Ensuite, on définit par exemple la séparation entre deux points comme étant ds, avec :
Jusque là tout va à peu près bien, je vois à quoi ressemblent les objets que je manipule. Cependant, les physiciens utilisent souvent les dx comme étant des quantités infinitésimales. J'ai du mal à voir à quoi cela correspond puisque dx ne peut pas être une longueur par exemple, étant donné que c'est une forme linéaire spécifique à un point d'une variété. Je ne comprends pas comment dx peut pouvoir relier deux points, quand bien même ils sont "infinitésimalement" proches. Mon interprétation est donc que c'est un peu un hasard de notations, ou plutôt un abus de notations, qui permettent de faire des calculs de géométrie en utilisant les dépendances des formes linéaires par rapport aux paramètres d'un problème, parce qu'historiquement ça convenait bien et surtout parce que l. Cela m'amène à une autre question :
Qu'est-ce que le dt représente dans(on peut aussi le faire avec
ou
, au choix !) ? J'ai envie de penser que c'est toujours une forme linéaire, mais j'aimerais bien savoir à quoi cela correspond véritablement. Dans la construction de l'intégrale de Riemann avec des subdivisions, il ne me semble pas qu'on donne de sens à ce
, on note juste l'intégrale comme cela par convention. Dans l'intégrale de Lebesgue construite avec les fonctions indicatrices, il ne me semble pas non plus qu'on donne un sens au
, on indique juste quelle mesure est utilisée (pourquoi avoir gardé la notation
, j'imagine qu'il y a une raison ?), mais c'est déjà un autre problème (je crois) au sens où je n'ai jamais vu de composition de mesures
.
Voilà, j'ai marqué un peu tout ce qui me passait par la tête. Vous avez dû constater que c'est assez flou, je n'ai de toute façon pas beaucoup de recul sur la question et j'espère qu'une âme éclairée pourra m'en apprendre davantage !
En vous remerciant,
Cordialement,
P.
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