[Géométrie différentielle] Lien formes linéaires / variations infinitésimales

[PlapPlop]

Bonjour à tous,

J'aimerais avoir votre avis sur la signification profonde des dx qu'on utilise, que ce soit en physique ou en mathématiques.

En géométrie différentielle, on définit comme étant la forme linéaire tel que , où est la base canonique de l'espace tangent.

Ensuite, on définit par exemple la séparation entre deux points comme étant ds, avec :

Jusque là tout va à peu près bien, je vois à quoi ressemblent les objets que je manipule. Cependant, les physiciens utilisent souvent les dx comme étant des quantités infinitésimales. J'ai du mal à voir à quoi cela correspond puisque dx ne peut pas être une longueur par exemple, étant donné que c'est une forme linéaire spécifique à un point d'une variété. Je ne comprends pas comment dx peut pouvoir relier deux points, quand bien même ils sont "infinitésimalement" proches. Mon interprétation est donc que c'est un peu un hasard de notations, ou plutôt un abus de notations, qui permettent de faire des calculs de géométrie en utilisant les dépendances des formes linéaires par rapport aux paramètres d'un problème, parce qu'historiquement ça convenait bien et surtout parce que l. Cela m'amène à une autre question :

Qu'est-ce que le dt représente dans (on peut aussi le faire avec ou , au choix !) ? J'ai envie de penser que c'est toujours une forme linéaire, mais j'aimerais bien savoir à quoi cela correspond véritablement. Dans la construction de l'intégrale de Riemann avec des subdivisions, il ne me semble pas qu'on donne de sens à ce , on note juste l'intégrale comme cela par convention. Dans l'intégrale de Lebesgue construite avec les fonctions indicatrices, il ne me semble pas non plus qu'on donne un sens au , on indique juste quelle mesure est utilisée (pourquoi avoir gardé la notation , j'imagine qu'il y a une raison ?), mais c'est déjà un autre problème (je crois) au sens où je n'ai jamais vu de composition de mesures .

Voilà, j'ai marqué un peu tout ce qui me passait par la tête. Vous avez dû constater que c'est assez flou, je n'ai de toute façon pas beaucoup de recul sur la question et j'espère qu'une âme éclairée pourra m'en apprendre davantage !

En vous remerciant,

Cordialement,

P.
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[invite84eba484]

Bonjour,

Je connais pas assez les math pour te répondre, mais concernant l'intégrale, le dt est bien une forme linéaire.

Il faut donc regarder l'intégration des formes linéaires et si je ne m'abuse, le fdt n'est rien d'autre qu'un chamgement de mesure...

bon c'est pas clair pour moi non plus mais je vais regarder attentivement les réponse qu'apporterons les autres car c'est vraie que tout ça n'est pas bien défini en physique.

[invite30f06b89]

Je vais essayer de répondre :

1) sur la bonne théorie de l'intégration c'est celle de Lebesgue a priori ici la notation n'a pas d'autre valeur que celle de notation pas la peine d'aller chercher plus loin (et certains auteurs ne l'utilisent pas) si vraiment le d t'embête on peut le justifier avec le théorème de Radon-Nykodym (mais la encore dans le fond c'est une histoire de notation rien de profond, je parle pas de Radon-Nykodym mais de la notation en d) et oui c'est bien une forme linéaire (on a même mieux toute forme linéaire est une intégrale cf théorème de Riesz, une bonne référence c'est LE Rudin analyse réelle et complexe)

2) les physiciens parlent de quantité infinitésimale, bon ils considèrent que c'est une aide à l'intuition mais mathématiquement parlant ça n'a aucun sens y a pas à aller chercher plus loin (enfin y a des trucs il parait type analyse non standard mais j'y connais rien)

3) quand on veut intégrer sur une variété on a une autre théorie de l'intégration, celle des formes différentielles voila toujours rien de choquant dans le fond il existe en fait une rafale de théories de l'intégration en mathématiques (généralement on apprend la théorie de la mesure avant la géo diff)

[PlapPlop]

Je vais essayer de répondre :

1) sur la bonne théorie de l'intégration c'est celle de Lebesgue a priori ici la notation n'a pas d'autre valeur que celle de notation pas la peine d'aller chercher plus loin (et certains auteurs ne l'utilisent pas) si vraiment le d t'embête on peut le justifier avec le théorème de Radon-Nykodym (mais la encore dans le fond c'est une histoire de notation rien de profond, je parle pas de Radon-Nykodym mais de la notation en d) et oui c'est bien une forme linéaire (on a même mieux toute forme linéaire est une intégrale cf théorème de Riesz, une bonne référence c'est LE Rudin analyse réelle et complexe)

Ok donc finalement c'est à peu près ce que je me disais..

2) les physiciens parlent de quantité infinitésimale, bon ils considèrent que c'est une aide à l'intuition mais mathématiquement parlant ça n'a aucun sens y a pas à aller chercher plus loin (enfin y a des trucs il parait type analyse non standard mais j'y connais rien)

C'est à peu près ce que je pensais aussi, mais alors : pourquoi leurs bidouilles marchent-elles ? Considérons un problème de physique dont les paramètres ne sont pas que des longueurs, mais peuvent être des masses, des forces, des puissances, bref, tout plein de trucs. Est-ce qu'une bonne manière de voir les calculs sur les éléments infinitésimaux serait de se placer dans , où n est égal au nombre de paramètres du problème, et où chacune des n droites de représente les valeurs possibles des paramètres physiques du problème (même si rien n'est homogène !) ? De la sorte, en chaque point , on peut relier les différentes formes linéaires du dual de l'espace tangent, qui caractérisent les paramètres du problème grâce aux dépendances des paramètres entre eux (les finalement, où est le i-ème paramètre et le j-ème...). Cela a-t-il un sens ?

3) quand on veut intégrer sur une variété on a une autre théorie de l'intégration, celle des formes différentielles voila toujours rien de choquant dans le fond il existe en fait une rafale de théories de l'intégration en mathématiques (généralement on apprend la théorie de la mesure avant la géo diff)

Certes, mais pour définir l'intégrale d'une forme différentielle, on se ramène toujours à une intégrale de Riemann avec des paramètres...

En tout cas, merci pour les réponses !

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlapPlop]

Je relance le sujet :

on dit souvent que le dx de l'intégrale (pour prendre x comme variable), est une forme linéaire. Soit. Mais alors, comment est-elle définie, et sur quels espaces ? Si l'on se place dans R, au point x, l'espace tangent est simplement , et on peut définir dx la forme linéaire telle que . Soit. Mais comment interviendrait cette forme linéaire dans le calcul d'une intégrale ?

En espérant ne pas dire trop n'importe quoi...

P.

[PlapPlop]

se placer dans , où n est égal au nombre de paramètres du problème, et où chacune des n droites de représente les valeurs possibles des paramètres physiques du problème

n serait plutôt le nombre de paramètres indépendants du problème. Par exemple, dans un problème de thermodynamique où S l'entropie et V le volume varient, dU = TdS - pdV. Il faudrait se placer dans R^2, de sorte qu'à chaque point de R^2 soit associée une énergie (relative, il faudrait prendre une énergie nulle quelque part, mais c'est un autre problème...). En (S,V), on considère l'espace tangent, et on exprime la forme linéaire associée à U sur la base (dS,dV) de l'espace dual. dU contiendrait l'information suivante : "si je bouge S et V comme ça, U bougera comme ça". Du coup, on voit le lien qui pourrait être établi avec les éléments infinitésimaux, sauf qu'eux sont des abus de langages/notations.

En espérant toujours ne pas dire trop n'importe quoi...

[GrisBleu]

Mais comment interviendrait cette forme linéaire dans le calcul d'une intégrale ?.

Salut

Je me pose ces questions depuis qques temps. Je te donne mes elements de reponses, pioches ici ou la.
Grosso modo, vaut la somme sur des petits elements de volume de f fois ces volumes. Si tu prends un volume tres petit defini comme le cube de cote autour d'un point p l'integrale de f sur cube vaut environ

Pour etre plus precis et general, on se place dans une variete de dimension n
+ Autour de p, on a un ouvert U et une carte x1,...,xn. L'espace tangent est aussi defini. les vecteurs definissent un cube C.
+ Sans autre structure (genre une metrique), tu peux quand meme essayer de definir un "volume". En 2D l'aire definit par 2 vecteurs u et v est A(u,v). Avec un dessin, on voit que A(u+v,w)=A(u,w)+A(v,w). de plus A(l u,v) = lA(u,v) pour l positif. Finalement A(u,u)=0. Si tu acceptes de prendre en compte l'orientabilite, tu as A(u,v)=-A(v,u) et A est alors un tenseur (0,2) proportionnel a . En generalisant, te definit une aire. Par exemple
+ On pose donc
+ En sommant et en prennant la limite avec des cubes infiniment petits et en sommant

+ Pour voir que c'est coherent, change de variables
, alors C'est le bon terme dans les changements de variables !!