Preuve ln(1+x) <x

[invitee5651092]

Bonjour,
J'aimerais avoir une preuve "correcte" que ln (1+x)<x
En effet je le vois bien que ceci est vrai mais je sais pas comment le rédiger! Merci pour votre aide
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[invite2bc7eda7]

Bonsoir,

une étude rapide de la fonction qui a x associe ln(1+x)-x permet de le démontrer

Bonne soirée

[inviteaf1870ed]

L'inégalité n'est pas stricte : ln(1+x)=x pour x=0.
L'inégalité large vient de la concavité de la fonction ln, qui est toujours au dessous de ses tangentes. La concavité se montre en dérivant 2 fois ln(1+x)

[albanxiii]

Bonjour,

Une méthode plutôt puissante pour montrer ce genre d'inéquation est d'utiliser la formule de Taylor avec reste intégral :

.

Ici, on prend . On vérifie qu'on est bien dans les conditions d'application de la formule. Je vous épargne les calculs des dérivées premières et secondes....

A l'ordre 2, au point on a

.

On conclue facilement, puisque le terme intégré est positif et précédé d'un signe négatif.... sauf erreur de ma part....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

bonjour,
très compliquée ta demonstration alban !!!
il y a beaucoup plus simple comme indiqué plus haut.

[albanxiii]

Oui, je sais, mais je voulais indiquer la méthode pour éventuellement d'autres personnes que le posteur d'origine et qui seraient intéressées par étendre leur arsenal mathématique....

Je me souviens avoir passé pas mal de temps en maths sup (un DM) à démontrer un encadrement du cosinus du même type, alors qu'avec cette méthode ça aurait été fini en quelques minutes.