Equation différentielle

[invite07740c67]

bonsoir,

Ma question porte sur les equadifs:

disons l'equation differencielle ay""+by'+cy=e^[alpha(x)]
j'ai compris qu'il fallait resoudre d'abord le polynome ax²+bx+c=O et en deduire les racines du premier membres et je vois commment on fait avec aisance.

Par la suite on resout P(x)=Q(x)e^[alpah(x)]
___> Mais ce que je ne comprend pas:
Comment on determine le degrès de Q par rapport à P et à la résolution du polynome? Qu'entend t-on pas racine double et simple? si alpha vaut 3 et que 3 et la solution de P ou une des deux solutions conjugués comment procede t-on?Où alors si alpha n'est en rien l'une de(s) solution(s)?


merci d'avance de votre aide, je suis totalement perdue.
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[invitec3cec6c0]

Salut.
Après avoir deduit tes racines, tu a donc une solution particuliere sous forme :
-Si tu trouve des racines simples(donc Delta>0) :
y(x)=Ae(sx)+Be(s'x), A et B cstes et s et s' tes racines simples ;
-Si tu trouve une racine double :
y(x)=(Ax+B)e(sx), s racine double(donc Delta=0) ;
-Si tu trouve des racines complexes(donc Delta<0), alors tu aura (ai+b) et (ai-b) :
y(x)=e(ax) * (A cos(bx)+B sin(bx)) ;

Ensuite, ton equation est sous la forme ay''+by'+cy=P(x)e(rx) avec P(x)=1 et r=alpha.
Par conséquent, tu cherche une solution particuliere de la forme :
y=Q(x)e(alpha*x) où :
- d°Q=d°P si alpha n'est pas une solution de l'equation cartesienne ;
- d°Q=d°P+1 si alpha est une racine simple de l'equation cartesienne ;
- d°Q=d°P+2 si alpha est une racine double de l'equation cartesienne ;

Voila, est ce que cela répond à ta question?

PS: d°= degré de