[Geo diff] Question sur la definiton de flux

[GrisBleu]

Bonjour

Je me pose des questions sur la definition d'un flux de vecteur. Je prend un cas simple (mais trop simpliste)
+ M est une variete de dimenion 2 (le plan) avec une metrique g = dx^2-dy^2 ( pseudo metrique)
+ G est une courbe fermee, sous variete de dimension 1 incluse dans M. Elle definit une surface S sous variete de dimension 2 incluse dans M
+ X est un champs de vecteur (C infini et tout ce qu'il faut) defini sur M
Je voudrais au final definir le flux de X a travers G (et ramener ca a une divergence sur S)

Pour commencer je regarde localement, autout d'un point p de G
+ l est une coordonnee sur G
+ u et v sont des coordoonees sur M qui diagonalisent la metrique g=du^2-dv^2

Mes cours de physique donnait que le flux a travers la ligne infinitesimale dl etait X.n dl ou n est le vecteur normal unitaire sortant et perpendiculaire a G en p. Je cherche donc a calculer n
+ genere la tangente a G en p. il se decompose aussi sur le plan tangent a M en p: . la normale a la tangente de G en p est donc donne par l'ensemble des vecteur en p tels que
n est donc de la forme


Question1: quelle est la condition pour que n soit unitaire ? est ce g(n,n)=1 ou |g(n,n)|=1. En effet, ma metrique n'est pas positive
Question2: comment definir le fait que le vecteur n soit sortant ? Est ce quelque chose du genre

On suppose que n est definit. Pour calculer X.n, j'ai la metrique g(X,n). Mais je me dit que ca revient a definir une forme N(.)=g(n,.) et X.n = N(X). Or je dispose deja d'une forme associee a n. en effet n et definissent une base et j'ai la base duale. Posons que la forme duale de n est M,

Question3: serait il legitime de definir le flux de X a travers dl par M(X)dl plutot que g(n,X)dl (J'arrive pas a voir si on retombe sur la meme chose. J'en doute a moins de normer ??)

Merci pour vos eclaircissements !!
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[GrisBleu]

Argh erreur, , donc la norme de n () et de (a^2-b^2) sont de signes opposes, ca marche bien. Par contre, si est de norme nul, c'est pareil pour n et ils sont colinaires...Comment trouve t on un vecteur orthognal dans ce cas ?