Bonjour,

Dans une tentative de comprendre la notion de torsion en géométrie différentielle, je me suis donné comme exercice construire une variété avec une connexion "de torsion pure", c'est à dire avec une métrique constante, une torsion non nulle et la métrique compatible avec le transport parallèle.

Le cas le plus simple semble la dimension 2, la métrique euclidienne et de travailler avec des coordonnées cartésiennes.

La connexion affine est alors de la forme :



Avec antisymétrique dans ses deux premiers indices, ce qui fait qu'elle est définie par deux paramètres seulement.

Après tripatouillage j'arrive à la connexion suivante, exprimée sous forme de dérivée directionnelle :



avec un "vecteur" caractérisant la torsion (les deux paramètres) et J la rotation d'un quart de tour.

Ma question est si cette forme est correcte.

Cela à l'air de coller . J'ai vérifié par exemple que le produit scalaire euclidien commute avec le transport parallèle. Mais si quelqu'un peut me confirmer le résultat, cela m'aiderait.

L'étape suivante serait de choisir un champ de torsion permettant des calculs simples, par exemple pour le calcul des géodésiques. Après quelques tâtonnements, il me semble que convient.

Est-ce que quelqu'un connaît un ouvrage ou article qui développerait ce cas là, ou présenterait un autre cas simple ?

Merci d'avance,