Développement p-adique d'un rationnel

[inviteebada018]

Bonsoir Bleyblue
Après réflexion, il me semble que ma méthode fonctionne bien pour les rationnels négatifs ou nuls (car ils admettent un développement 2-adique strictement périodique)

Moi aussi je suis capable d'erreurs tout-à-fait répréhensibles:
j'ai dit qu'un rationnel négatif a un développement strictement périodique. Ce n'est pas toujours vrai... il suffit de considérer
-2=(1)0
Donc ma "méthode générale" marche de préférence avec a=-1 et b non divisible par p
(Mais la formule opposé(x)=complémentaire(x)+1 permet de traiter aussi le cas a=+1).
Dans le cas où a est "quelconque" il faut y aller avec précaution.
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[inviteebada018]

Moi aussi je suis capable d'erreurs tout-à-fait répréhensibles:
j'ai dit qu'un rationnel négatif a un développement strictement périodique. Ce n'est pas toujours vrai... il suffit de considérer
-2=(1)0
Donc ma "méthode générale" marche de préférence avec a=-1 et b non divisible par p
(Mais la formule opposé(x)=complémentaire(x)+1 permet de traiter aussi le cas a=+1).
Dans le cas où a est "quelconque" il faut y aller avec précaution.

A présent (et aussi en lisant plus attentivement les premiers messages d'Amanuensis) j'arrive à la conclusion qu'un rationnel
admet un développement strictement périodique ssi

[Amanuensis]

admet un développement strictement périodique ssi

Oui, si le dénominateur est impair.

-1/2 s'écrit (1).1, -3/4=(1).01, -1/20 = (0011)00.11, difficile qu'ils soient vus tous les trois comme strictement périodiques.

[inviteebada018]

A présent (et aussi en lisant plus attentivement les premiers messages d'Amanuensis) j'arrive à la conclusion qu'un rationnel
admet un développement strictement périodique ssi

Attention Amanuensis! j'ai pris soin de supposer au préalable que
Veiller trop tard n'aide pas forcément.

[Amanuensis]

Attention Amanuensis! j'ai pris soin de supposer au préalable que

-3/4 n'est pas un rationnel ?

Veiller trop tard n'aide pas forcément.

Genre de remarques débiles dont on se passe fort bien, même avec smiley.

[Amanuensis]

Au passage la notation n'est pas claire pour moi. Je l'ai interprétée comme (c'est à dire à isomorphisme (de corps) unique près !). (Pour moi cette intersection est aussi bizarre que .)

S'il y a une autre interprétation de la notation, elle m'a échappé ; merci alors de la préciser.

Perso, j'utilise pour le corps des 2-adiques, et j'utilise pour le corps à deux éléments.

[inviteebada018]

perso j'utilise pour désigner l'anneau des entiers 2-adiques
mais
la politesse...résoud beaucoup de problèmes.

[Amanuensis]

la politesse... résout beaucoup de problèmes.

Et l'impolitesse en crée.

[Amanuensis]

Annulé.......

[Amanuensis]

Pourriez-vous expliciter ce que vous notez sous forme d'intervalle [-1,0] dans le contexte ? Pour l'ordre naturel de Q, c'est cela ?

[inviteebada018]

Excusez-moi mais je trouve votre question un petit peu mystérieuse

[Amanuensis]

Pas grave.

Sur le fond, il n'y a pas de débat. J'aurais écrit "les rationnels entre 0 et 1 de dénominateur impair sont exactement ceux de représentation 2-adique strictement cyclique", mais c'est, une fois bien lu, la même chose que ce que vous avez proposé.

[Amanuensis]

Erreur dans le message précédent, lire "entre -1 et 0", toujours ce fichu signe auquel il faut faire attention.

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Pour préciser quand même : je le "vois" comme je l'ai écrit parce qu'on a aussi "les rationnels entre 0 et 1 de dénominateur impair sont exactement ceux de représentation binaire strictement cyclique". [Le 1 inclus, à cause de 0.(1) ]

[inviteebada018]

Votre remarque m'évoque une question que je me suis posée:
Y a-t-il un ensemble (contenant ) et "mathématiquement intéressant" où les éléments auraient un développement binaire éventuellement "infini" à gauche et à droite de la virgule. Mais je n'ai pas de réponse.

[inviteebada018]

On aurait sans doute des problèmes de représentations multiples mais pourquoi pas?

[inviteebada018]

Difficile de mettre une norme "agréable" sur cet ensemble

[invite5f67e63a]

Votre remarque m'évoque une question que je me suis posée:
Y a-t-il un ensemble (contenant ) et "mathématiquement intéressant" où les éléments auraient un développement binaire éventuellement "infini" à gauche et à droite de la virgule. Mais je n'ai pas de réponse.

En l'occurence oui il y en a.
Ils interviennent notemment en theorie de Hodge p-adique, et en geometrie rigide.

[inviteebada018]

Merci "infiniment Thérodre
Content de vous retrouver