Système d'équations à résoudre

[invited91780a2]

Bonjour,

J'ai deux équations suivantes dont je cherche la solution (y,z) :

(y+a)²+z²=f²
(y-b)²+(z-c)²=e²-a²

comment peut-on résoudre ce système sachant qu'on cherche (y,z) et que f, e, c et a sont connus.


Merci de votre aide.
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[NicoEnac]

Bonsoir,

On peut traduire géométriquement votre système d'équation par trouver les points d'intersection des cerles C₁ et C₂ définis comme suit :
C₁ est de centre (-a,0) et est de rayon |f|
C₂ est de centre (b,c) et est de rayon e²-a² sous réserve que e² > a²

Vous voyez ainsi qu'il existe 0, 1 ou 2 solutions.
Si la distance entre les 2 centres est strictement supérieure à la somme des 2 rayons, vous obtenez 0 solution.
Si la distance entre les 2 centres est égale à la somme des 2 rayons, vous obtenez 1 solution.
Si la distance entre les 2 centres est strictement inférieure à la somme des 2 rayons, vous obtenez 2 solutions.

[NicoEnac]

Vous pouvez également isoler z ou y dans la première équation afin de le réinjecter dans la seconde mais ce sera un peu lourd à mon avis.

[invite63e767fa]

Bonjor,

en faisant la différence entre les deux équations, les termes y² et z² disparaissent. Il reste une équation linéaire en y et z, ce qui permet de calculer z en fonction de y, de la forme z = p y + q.
Le repport dans l'une (ou l'autre) des équations innitiales conduira à une équation du second degré d'inconnue y, que l'on sait donc résoudre.

[A voir en vidéo sur Futura]