Bonjour,
J'ai quelques difficultés pour trouver les développements p-adiques des rationnels.
J'essaye par exemple de trouver la développement diadique de.
Comme
et que
il suffit à priori de calculer
mais comment faites vous cela?
J'essaye d'appliquer la formule donnant le produit de
qui est
et ça me permet de trouver quelques coefficients (
merci
Message supprimé
Bon ce que tu cherche c'est le développement de 1/25 voilà comment on procède :
1/25 modulo 2 = 1 (le premier chiffre)
1/25-1 = -24/25 = 8* -3/25 (on a divisé par 8 au lieu de 2 donc il y a deux zéro suplaimentaire)
-3/25 est congru à 1 (donc après les deux zéros il y a un 1 )
-3/25 -1 =-28/25 = -4*7/25 encore un zéro suplaimentaire et on continu...
au bout d'un moment on va tomber sur un période et ca sera fini, comme pour les développement décimaux. le problème, c'est que la période c'est 20... alors ca va être un peu long ^^
Edit cause le message de Ksilver : Autre approche...
De mémoire, donc avec risque d'erreur :
Le plus petit 2k-1 multiple de 5 est 16. On a 1/5 = 3/15.
-1/15 = (0001), car (0001) = 1 + 16(0001)
D'où 1/5 = -3 x (0001) = (1) x (0011)
L'approche est générique, pour une fraction m/n avec n premier avec 2, on cherche le plus petit k>0 tel 2k-1 multiple de n, et le reste s'ensuit.
[Pour 1/25, il faut aller jusqu'à 2^20, 1/25 = 41943/1048575, et -1/1048575=(00000000000000000001) , etc. ]
Heu. Je ne comprend pas bien. Comment fais-tu pour pour réduire une fraction modulo 2 ?
Sinon, pour Amanuensis, 16 est un multiple de 5 ?
Je suis désolé mais j'ai tendance à être très lent pour comprendre
merci !
Désolé pour l'erreur. Lire :Envoyé par Amanuensis
Le plus petit 2k-1 multiple de 5 est 15. On a 1/5 = 3/15.
Oui pardon je suis idiot
Ok je continue d'essayer de comprendre
Mais je ne comprend pas bien malgré tout.
(0001) cela signifie
Dans ce cas 16(0001) = 1 et alors 1 + 1 = 2 = (10)
merci
"Comment fais-tu pour pour réduire une fraction modulo 2 ?" >>> ca correspond à la rédution modulo dans Z_2. de facon général Si le dénominateur est impaire, tu calcule l'inverse du dénominateur modulo 2 (qui vaut toujour 1, mais modulo 2^k ca ce complique un peu...)
J'aurais dû expliciter la notation. (0001) c'est le développement 2-adique répétitif ...00010001000100010001. (Dans le contexte(0001) cela signifie).
D'où l'équation n =1 + 24 x n, si n=(0001). Et donc (0001) = n = -1/(24-1)
Autre remarque :
car
En effet
Ah, très bien !
Je comprend.
Savez-vous s'il y a une méthode générale pour trouver le développement p-adique de n'importe quel nombre ? Je suppose que non, ça a l'air assez dur ...
merci !
Tout de même une petite chose, comment faites-vous pour multiplier par -1 ?
Je sais que -1 c'est (en utilisant la notation ci dessus) : (1) mais de la à pouvoir faire la multiplication.
merci
Ah oui et ça me laisse perplexe car j'ai bien un raisonnement ici qui affirme que
En effet si
c'est à dire :
avec
donc
et ainsi
On en déduit bien l'égalité que je donne.
Je ne comprend pas trop...
merci
Multiplier par -1, c'est prendre le complément et ajouter 1.
(0011) --> (1100) par complémentation, d'où (0011) x (1) = (1100)1101
On vérifie :
(1100) = -4/5, parce que 16n=n-12,
donc (1100)1101 = 16 x (-4/5) + 13 = (65-64)/5 = 1/5
Ah bon.
Excuse-moi, mais comment pourrais-je justifier cette affirmation
merciMultiplier par -1, c'est prendre le complément et ajouter 1.
Donc,
(À condition qu'il n'y ait rien après la virgule.)
il suffit de se rendre compte que x + complément(x) + 1=0 pour tout x dans
complément(x)+1=-x=(-1)*x
j'ai une petite idée pour résoudre dans le cas général:
le problème est un peu le suivant:
pour a et b donnés dans
trouver k et x dans
et
autrement dit:
pour a=1 et b=25
je trouve k=20 et x=41543=1010001111010111b
Donc 1/100=(00001010001111010111)0000 10100011110101,11
Mais il y a peut-être des méthodes plus rapides...
Qu'en penses-tu?
Qu'il y a une erreur sur le signe... Et que c'est la méthode exposée message #4
(00001010001111010111) = - 41943/1048575 = -1/25
d'où
1/25 = (11110101110000101000)11110101 110000101001
et
1/100 = (11110101110000101000)11110101 1100001010.01
en fait je me suis sans doute planté sur xj'ai une petite idée pour résoudre dans le cas général:
le problème est un peu le suivant:
pour a et b donnés dans
trouver k et x dans
et
autrement dit:
pour a=1 et b=25
je trouve k=20 et x=41543=1010001111010111b
Donc 1/100=(00001010001111010111)0000 10100011110101,11
Mais il y a peut-être des méthodes plus rapides...
Qu'en penses-tu?
ça doit plutôt être x=2^20-41943=1006633=1111010111000010 1001b
donc 1/100=(11110101110000101001)1111 01011100001010,01
cette fois j'espère que c'est bon... et bon courage!
Il me semble que Amanuensis est encore plus près de la vérité
Excusez-moi Amanuensis pour mes propres tâtonnements mais j'ai envie de dire que la morale de mon erreur est la suivante:
Le développement 2-adique d'un rationnel r
Bonsoir Bleyblue
Après réflexion, il me semble que ma méthode fonctionne bien pour les rationnels négatifs ou nuls
cela donne comme l'a dit Amanuensis
-1/25=(00001010001111010111).
Pour les rationnels de
qui sont strictement positifs, il faut utiliser en plus la formule opposé(x)=complémentaire(x)+1
d'où
1/25=(11110101110000101000)11110 101110000101001
Désolé pour mes tâtonnements...mes erreurs...
Désolé si j'ai répété des choses déjà dites plus haut.
Ce n'est pas grave du tout pour les tatônnements et merci beaucoup de passer autant de temps à m'aider
D'accord merci.
Et dans le cas où p est un premier impair quelconque ? Pensez-vous qu'il existe une méthode analogue ?
Sinon quelqu'un voit il une erreur dans le raisonnement que j'ai donné au message 14 ?
Ca me laisse perplexe.
Merci
il faut que tu te demandes ce que signifie la quantité ai+ai+2
Est-ce que ce sont des chiffres binaires (alors que la quantité peut valoir 2)?
l'unicité de l'écriture du nombres 2-adiques x marche si on l'écrit avec des chiffres binaires xi dans la formule
rappelle-toi que
Autre exemple: 2*2^5+0*2^6=0*2^5+1*2^6
mais on n'a pas (2;0)=(0;1).
Par ailleurs, pour la généralisation aux nombres premiers quelconques je ne vois aucun problème.
La méthode a l'air de marcher dans le cas général. Mais je me pose quand même des petites questions... qui mériteraient un approfondissement.
Oui. La seule "difficulté" est de trouver le plus petit 2^k-1 multiple de p, c'est à dire trouver l'ordre de 2 dans le groupe multiplicatif modulo p. Facile à programmer sur machine (mais je ne sais pas si c'est plus rapide dans le pire cas que l'algo donné par KSilver).
À la main et pour les petits nombres, on peut souvent aller vite en appliquant le théorème d'Euler. Par exemple comme phi(25) vaut 20, l'ordre de 2 modulo 25 est un diviseur de 20. Comme 10 et 4 ne conviennent pas, c'est 20.
Là, je ne suis pas d'accord Amanuensis.
A mon avis, dans la question de Bleyblue, le nombre premier p remplace 2.
Effectivement, j'ai mal interprété.
La réponse est quand même sensiblement la même, sauf que perso je connais mieux les puissances de 2 que de celles d'autres nombres premiers
Ah oui en effet. Cela m'étonne car le raisonnement a été donné par un assistant d'excercice de mon cours de théorie des nombres (maintenant comme je ne suivais qu'a moitié il est possible que j'ai mal pris noteil faut que tu te demandes ce que signifie la quantité ai+ai+2
Est-ce que ce sont des chiffres binaires (alors que la quantité peut valoir 2)?
l'unicité de l'écriture du nombres 2-adiques x marche si on l'écrit avec des chiffres binaires xi dans la formule
rappelle-toi que
Autre exemple: 2*2^5+0*2^6=0*2^5+1*2^6
mais on n'a pas (2;0)=(0;1).
D'accord merci pour tous les renseignements
