Décidabilité de la commutativité

[invitecc3e6e62]

Encore un point de doute important pour moi.
Pour média,

pour un groupe non abélien, la commutativité est "indécidable".
Admettons que l'ajdectif s'applique.


donc quand on y ajoute l'axiome "x + y = y+x " qui en fait un groupe abélien, on ajoute au groupe une propriété "indécidable". Non ?

Donc en fait, dans un groupe abélien, comme "x+y = y +x " est indécidable (puisqu'on a ajouté une proposition indécidable ? )
on ne peut pas dire si "x+y = y +x"
Non ?
Donc en fait n'importe quelle axiome est indécidable si on l'enlève ? et quand on l'ajoute il devient vrai ?

Dans ce cas, il n'y a aucune propriété indécidable dans aucune théorie non ? puisque tout ce qui était indécidable est devenu axiome ?

Je ne sais pas, je cherche...
-----

[invite4ef352d8]

Salut !

si une propriété est indécidable alors tu peut l'ajouter comme axiome et ta théorie reste coherente, et la propriété deviens vrai dans la nouvel théorie. mais tu aurais très bien put aussi ajouter la négation de la ta propriété et elle serait devenue fausse dans la nouvel théorie... donc il n'y a aucune raison de dire que "toute proposition indécidable est vrai"

pour reprendre ton exemple, dans la théorie des groupes la propriété de commutativité est indécidable (la preuve étant qu'il existe des groupes commutatif et des groupes non commutatif) si j'ajoute l'axiome de commutativité, alors je n'étudie plus la même théorie (ca deviens la théorie des groupes commutatif) dans laquel la propriété de comutativité est vrai.


Note aussi qu'il n'est pas vrai que "si on enlève un axiome il deviens indécidable" : c'est le cas seulement si le système d'axiome choisit est intelligent et que les axiomes sont indépendant les un des autres... mais il est tout à fait possible que l'axiome que tu es enlevé soit toujour vrai dans la nouvelle théorie (voir qu'il soit faux... mais dans ce cas ca veut dire que tu travail avec une théorie non cohérente... )

[invitecc3e6e62]

Salut !

si une propriété est indécidable alors tu peut l'ajouter comme axiome et ta théorie reste coherente, et la propriété deviens vrai dans la nouvel théorie. mais tu aurais très bien put aussi ajouter la négation de la ta propriété et elle serait devenue fausse dans la nouvel théorie... donc il n'y a aucune raison de dire que "toute proposition indécidable est vrai"

là je suis d'accord !

pour reprendre ton exemple, dans la théorie des groupes la propriété de commutativité est indécidable (la preuve étant qu'il existe des groupes commutatif et des groupes non commutatif) si j'ajoute l'axiome de commutativité, alors je n'étudie plus la même théorie (ca deviens la théorie des groupes commutatif) dans laquel la propriété de comutativité est vrai.

Admettons mais alors le mot indécidable devient ici très différent de celui employé par Gödel qui lui parlait des propositions auto-référente (comme "je suis une proposition fausse")
L'axiome "je suis une proposition fausse" ne peut jamais être axiome de quoi que ce soit : c'est réellement indécidable, et pas uniquement par rapport à une théorie.

Note aussi qu'il n'est pas vrai que "si on enlève un axiome il deviens indécidable" : c'est le cas seulement si le système d'axiome choisit est intelligent et que les axiomes sont indépendant les un des autres... mais il est tout à fait possible que l'axiome que tu es enlevé soit toujour vrai dans la nouvelle théorie (voir qu'il soit faux... mais dans ce cas ca veut dire que tu travail avec une théorie non cohérente... )

Ok, mais il me parait juste de ne vouloir considérer comme axiome que ce qui n'est pas démontrable par ailleurs..
C'est vrai qu'il ai possible qu'un groupe d'axiome puisse être suffisant, et équivalent à un autre groupe d'axiome (il suffit d'écrire un axiome différemment et d'enlever l'original).

Disons simplement que pour moi le mot "indécidable" appliqué à tout les propositions qui sont en dehors d'une théorie (et donc potentiellement des axiomes) est un abus de langage, par opposition aux propositions qui sont elles réellement indécidables comme celle que cite Gödel.

[Médiat]

Quand vous posez des questions il n'y a aucune raison de ne pas vous répondre.

D'abord, je vous déconseille l'usage du mot "Décidabilité" qui peut avoir un tout autre sens.

Ensuite je vous ferais remarquer que dire "La commutativité est indécidable" est une phrase qui n'a pas de sens, vous devez préciser pour quelle théorie, telle proposition est ou n'est pas indécidable.

pour un groupe non abélien, la commutativité est "indécidable".

Phrase mal dite, si vous parlez d'un groupe, c'est à dire d'un modèle de la théorie des groupes, il n'y a aucune proposition indécidable dans sa théorie.
Soit vous parlez de la "théorie des groupes", et la commutativité y est indécidable, mais en précisant "théorie des groupes non abélien" vous imposez que la commutativité soit fausse, donc pas indécidable.

donc quand on y ajoute l'axiome "x + y = y+x " qui en fait un groupe abélien, on ajoute au groupe une propriété "indécidable". Non ?

Si "y" représente la théorie de groupes : Oui ; d'ailleurs cela n'aurait aucune intérêt d'ajouter une proposition qui ne soit pas indécidable à un système d'axiomes.

Donc en fait, dans un groupe abélien, comme "x+y = y +x " est indécidable (puisqu'on a ajouté une proposition indécidable ? )

Non, dans la théorie des groupes abéliens, la commutativité n'est pas indécidable, c'est un axiome.

on ne peut pas dire si "x+y = y +x" Non ?

Si puisque justement on a ajouté .

Donc en fait n'importe quelle axiome est indécidable si on l'enlève ?

Quand on part d'un système d'axiome "minimal", ce que Ksilver a appelé système intelligent, oui, dans le cas général, ce n'est pas obligatoire.

et quand on l'ajoute il devient vrai ?

Il devient un axiome, donc un théorème.

Dans ce cas, il n'y a aucune propriété indécidable dans aucune théorie non ?

Si on prend la définition générale d'une théorie : "ensemble clos par inférence", il ne peut y avoir de proposition indécidable dans une théorie, par contre il peut très bien exister des propositions indécidables pour cette théorie.

puisque tout ce qui était indécidable est devenu axiome ?

Ceci n'est pas toujours possible : théorème d'incomplétude de Gödel.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecc3e6e62]

Quand vous posez des questions il n'y a aucune raison de ne pas vous répondre.

D'abord, je vous déconseille l'usage du mot "Décidabilité" qui peut avoir un tout autre sens.

Ensuite je vous ferais remarquer que dire "La commutativité est indécidable" est une phrase qui n'a pas de sens, vous devez préciser pour quelle théorie, telle proposition est ou n'est pas indécidable.

Phrase mal dite, si vous parlez d'un groupe, c'est à dire d'un modèle de la théorie des groupes, il n'y a aucune proposition indécidable dans sa théorie.
Soit vous parlez de la "théorie des groupes", et la commutativité y est indécidable, mais en précisant "théorie des groupes non abélien" vous imposez que la commutativité soit fausse, donc pas indécidable.

Si "y" représente la théorie de groupes : Oui ; d'ailleurs cela n'aurait aucune intérêt d'ajouter une proposition qui ne soit pas indécidable à un système d'axiomes.

Non, dans la théorie des groupes abéliens, la commutativité n'est pas indécidable, c'est un axiome.

Si puisque justement on a ajouté .

Quand on part d'un système d'axiome "minimal", ce que Ksilver a appelé système intelligent, oui, dans le cas général, ce n'est pas obligatoire.

Il devient un axiome, donc un théorème.

Si on prend la définition générale d'une théorie : "ensemble clos par inférence", il ne peut y avoir de proposition indécidable dans une théorie, par contre il peut très bien exister des propositions indécidables pour cette théorie.
Ceci n'est pas toujours possible : théorème d'incomplétude de Gödel.

J'ai bien conscience qu'on ne fait que discutez du vocabulaire et qu'on sait bien tous ce dont on parle (ne faites pas preuve de mauvaise foi).

Je vous dis simplement que ce qui est définit comme "indécidable" ne devient spécial, interessant, et impressionnant que quand c'est une proposition autoréférente.

Sinon je vois ce qu'il y a de spécial à dire que la commutativité est indécidable dans une théorie qui ne l'implique pas (vous voulez simplement dire qu'il est impossible de le prouver ?)..

Là ou je veux en venir, c'est que pour une théorie, vous avez des propositions "indécidable" (qui sont extérieur)
et des propositions "fondamentalement" indécidable comme "cette proposition est fausse".
Les premières sont sans intérets particuliers, si ce n'est de savoir qu'elles sont extérieur et qu'il est vain de chercher à les démontrer, les secondes sont fondamentalement paradoxal, et seul le deuxième sont utilisé par Godel pour son théorème de l'incomplétude.

C'est ce que je dis depuis le début !

[invitecc3e6e62]

J'ai bien conscience qu'on ne fait que discutez du vocabulaire et qu'on sait bien tous ce dont on parle (ne faites pas preuve de mauvaise foi).

Je vous dis simplement que ce qui est définit comme "indécidable" ne devient spécial, interessant, et impressionnant que quand c'est une proposition autoréférente.

Sinon je vois ce qu'il y a de spécial à dire que la commutativité est indécidable dans une théorie qui ne l'implique pas (vous voulez simplement dire qu'il est impossible de le prouver ?)..

Là ou je veux en venir, c'est que pour une théorie, vous avez des propositions "indécidable" (qui sont extérieur)
et des propositions "fondamentalement" indécidable comme "cette proposition est fausse".
Les premières sont sans intérets particuliers, si ce n'est de savoir qu'elles sont extérieur et qu'il est vain de chercher à les démontrer, les secondes sont fondamentalement paradoxal, et seul le deuxième sont utilisé par Godel pour son théorème de l'incomplétude.

C'est ce que je dis depuis le début !

D'ailleurs je relance mon défi : trouver une proposition qui EST DANS une théorie, et qui est indécidable.

Pour moi "x + y = y +x" n'EST PAS dans la définition du groupe, ça n'en fait pas partie. Indécidable si vous voulez, mais pas plus que "mon voisin s'appel Bernard".. désolé, c'est ce que je vous dit depuis le début..

[invitecc3e6e62]

D'ailleurs si vous voulez, alors en prenant votre définition du mot "indécidable".. je démontre que Gödel à tord.

Soit axiomatique suivante :

"existe A"
"existe B = super(A)"
"A = B"

Trouvez moi une proposition exprimable dans la théorie qui est "indécidable" !!

Vous verrez que ce sera toujours un "non" quelque chose.. c'est à dire un équivalent autoréférent à la proposition "cette proposition est fausse"..

[Médiat]

J'ai bien conscience qu'on ne fait que discutez du vocabulaire et qu'on sait bien tous ce dont on parle .

Cela m'étonnerait beaucoup.

Je vous dis simplement que ce qui est définit comme "indécidable" ne devient spécial, interessant, et impressionnant que quand c'est une proposition autoréférente.

Vous pouvez le dire, mais comme personne ne sait ce que vous entendez par "spécial, interessant, et impressionnant", vous ne faites que nous faire part d'un goût personnel.

Là ou je veux en venir, c'est que pour une théorie, vous avez des propositions "indécidable" (qui sont extérieur)
et des propositions "fondamentalement" indécidable comme "cette proposition est fausse".

Donnez nous une définition exploitable mathématiquement de "proposition indécidable" et de "proposition fondamentalement indécidable".

seul le deuxième sont utilisé par Godel pour son théorème de l'incomplétude.

Et ? Je vous rappelle que le théorème de Gödel s'applique à toute une classe de théories et non a une seule, il fallait donc trouver une proposition indécidable dans toutes ces théories, ce qui en facilite pas la tâche.

[Médiat]

Vous aviez commencé ce fil en posant des questions, je vous ai répondu point par point, mais vous recommencez à vous lancer dans des élucubrations n'ayant rien de mathématique, si vous continuer ce fil sera fermé, comme les autres.

Médiat, pour la modération.

[invitecc3e6e62]

Cela m'étonnerait beaucoup.

Vous pouvez le dire, mais comme personne ne sait ce que vous entendez par "spécial, interessant, et impressionnant", vous ne faites que nous faire part d'un goût personnel.

Bien sur, c'est très important de savoir pour vous que la théorie des groupes n'implique pas la théorie des champs et la théorie des ensembles... tout autant d'immense ensemble de proposition indécidable dans la théorie des groupes..

Donnez nous une définition exploitable mathématiquement de "proposition indécidable" et de "proposition fondamentalement indécidable".

Soit "P" fondamentalement indécidable : P est indécidable pour toute théorie..

Et ? Je vous rappelle que le théorème de Gödel s'applique à toute une classe de théories et non a une seule, il fallait donc trouver une proposition indécidable dans toutes ces théories, ce qui en facilite pas la tâche.

[invitecc3e6e62]

**** La critique de la modération doit se faire en privé ****

Dernier avertissement avant fermeture.

Médiat, pour la modération

[invitecc3e6e62]

D'ailleurs si vous voulez, alors en prenant votre définition du mot "indécidable".. je démontre que Gödel à tord.

Soit axiomatique suivante :

"existe A"
"existe B = super(A)"
"A = B"

Trouvez moi une proposition exprimable dans la théorie qui est "indécidable" !!

Vous verrez que ce sera toujours un "non" quelque chose.. c'est à dire un équivalent autoréférent à la proposition "cette proposition est fausse"..

faite le, simplement. Sans vous énerver.
Il parrait que tout axiomatique recursive est incompléte.
Moi je sais pas, donc je teste l'idée :

Prenons un morceau d'axiomatique de peano, de sorte qu'il soit "récursivement axiomatisable" et voyons si vous pouvez me trouver une proposition indécidable..

[Médiat]

Soit "P" fondamentalement indécidable : P est indécidable pour toute théorie..

Comme vous auriez pu le déduire facilement à partir de ma première réponse sur ce fil, cette définition est totalement inutile à cause du theorème :

Aucune proposition n'est indécidable pour toutes théories.

Démonstration P est un théorème de la théorie dont le seul axiome est P, donc n'est pas indécidable pour cette théorie.

[invitecc3e6e62]

faite le, simplement. Sans vous énerver.
Il parrait que tout axiomatique recursive est incompléte.
Moi je sais pas, donc je teste l'idée :

Prenons un morceau d'axiomatique de peano, de sorte qu'il soit "récursivement axiomatisable" et voyons si vous pouvez me trouver une proposition indécidable..

A = super(A) = super(super(A))

n'est elle pas "récursivement axiomatisable" ma théorie ?
Donc ou est, et qu'elle est la proposition "indécidable"..

[invite7863222222222]

Prenons un morceau d'axiomatique de peano, de sorte qu'il soit "récursivement axiomatisable" et voyons si vous pouvez me trouver une proposition indécidable..

On vous a dit qu'indécidable est relatif à dans une théorie.

Quand même, on vous a donné plusieurs fois l'exemple : le théorème de Goldstein, n'est pas démontrable dans Peano mais l'est dans ZFC.

[invitecc3e6e62]

Comme vous auriez pu le déduire facilement à partir de ma première réponse sur ce fil, cette définition est totalement inutile à cause du theorème :

Aucune proposition n'est indécidable pour toutes théories.

Démonstration P est un théorème de la théorie dont le seul axiome est P, donc n'est pas indécidable pour cette théorie.

Ok, voici mon axiome (je suis désolé, mais c'est le genre de raisonnement originel de Gödel):

"Cette proposition est indécidable pour toute les théories"..

[Médiat]

Prenons un morceau d'axiomatique de peano, de sorte qu'il soit "récursivement axiomatisable" et voyons si vous pouvez me trouver une proposition indécidable..

Il suffit de prendre tout Peano, qui est récursivement axiomatisable, et la proposition indécidable suivante : "Toutes suites de Goodstein finit par stationner en 0".

[invitecc3e6e62]

On vous a dit qu'indécidable est relatif à dans une théorie.

Quand même, on vous a donné plusieurs fois l'exemple : le théorème de Goldstein, n'est pas démontrable dans Peano mais l'est dans ZFC.

Vous ne comprenez pas le concepte de "je ne suis pas d'accord avec vous, je pense que vous vous trompé et j'essaye de vous le montrer ?"
Je vais pas vous croire sur parole, il faut une démonstration qui étaye vos dires.. Je ne vais certainement pas vous croire juste parce que vous êtes nombreux..

[invitecc3e6e62]

Il suffit de prendre tout Peano, qui est récursivement axiomatisable, et la proposition indécidable suivante : "Toutes suites de Goodstein finit par stationner en 0".

Vous n'avez pas répondu à ma théorie, qui est un morceau de peano..

Théorie :

"existe A"
"existe B = super(A)"
"A = B"

[Médiat]

Ok, voici mon axiome (je suis désolé, mais c'est le genre de raisonnement originel de Gödel):

"Cette proposition est indécidable pour toute les théories"..

Oh non, ce que vous écrivez ici n'a rien à voir avec Gödel qui, lui, faisait des mathématiques.

Vous voulez écrire une proposition, très bien, nous allons supposer que nous parlons de logique classique du premier ordre (c'est le cas quand on ne précise pas), commencez donc par nous donner le langage que vous utilisé, sinon je ne vois pas comment on peut construite une proposition bien formée (ce qui est le minimum, avouez-le).

[invitecc3e6e62]

Il suffit de prendre tout Peano, qui est récursivement axiomatisable, et la proposition indécidable suivante : "Toutes suites de Goodstein finit par stationner en 0".

ça m'étonnerais beaucoup qu'elle le soit !

Pas plus que

somme(1 / (2 ^n ) ) = 2

enfin.. je vous ai déjà expliquer pourquoi mais vous n'avez pas compris visiblement..

[Médiat]

Vous ne comprenez pas le concepte de "je ne suis pas d'accord avec vous, je pense que vous vous trompé et j'essaye de vous le montrer ?"
Je vais pas vous croire sur parole, il faut une démonstration qui étaye vos dires.. Je ne vais certainement pas vous croire juste parce que vous êtes nombreux..

Votre attitude est définitivement inacceptable, dont acte !

Médiat, pour la modération