Bonjour à tous,
J'éprouve quelques difficultées à résoudre certains exercices...
Certains d'entre pourraient-ils me donner un coup de pouce ?
1.Montrer que (un) converge :
Un= (1/n !) Somme de p=1 à n de p !
J’encadre (un) entre la somme de son plus bas terme et la somme de son plus haut terme. (Les inégalités suivantes sont des inégalités larges.
n<un<(n /n ! )n !
somme de p=1 à n de p ! < n n !
Mais je suis bloqué…
Il faudrait réussir à démontrer que : somme de p=1 à n de p ! < (n+1) !
D’ailleurs, admettons l’inégalité précédente, comment faire pour démontrer que un converge, sachant qu’elle est comprise entre n et (n+1) !, toutes deux divergentes…
2.Calcul de limite :
un=(E(n+1)²)/(E(n-1)²)
un=(1/n²)∑ k=1 à n de E(kx)
un=sin (1/n)^(1/ln(n))
un= n/(n²+1) + n/(n²+2) + … + n/(n²+n)
3.Trouver un équivalent :
Un= n sin (1/n²)
Un= n^(1/n)-1
Un=ln(n+1)-ln(n)
Un= t an(pi/3 + 1/n)
Un=(tan(pi/3 + 1/n))^n
Un=(tan(pi/3 + 1/n))^pi
Lim ((n²+5n+4)/(n²-3n+7))^n
4.Déterminer les limites suivantes : Utilisation de suite équivalente...
un=(sin( racine de (n²+1)))/ n
un=n sin (n pi - 1/n)
un=(4^n+1 +5^n+1)/(4^n +5^n)
un=(2n+(-1)^n)/(3n+(-1)^n+1
un=(n^3 + sin(n))/((n+1)²-cos(npi/6))
un=n cos(npi/6)+2n
un=2n cos(npi/6)+n
un= racine nième de n
un=(1+1/n)^n
un=(1+1/n²)^n
un=(1+1/n)^n²
un=racine cubique de (n^3+n^2) - racine cubique de(n^3+n)
5. Soit a appartenant à [1, plus l'infini[, on définit les suites u et v par u0=1 et v0=a
vn+1= 1/2 (un+vn)
un+1=1/2 (1/un + 1/vn)
a. MQ: un strictement inferieur à vn
A priori, une démonstration par récurrence serait la bienvenue... Seulement, j'ai un problème, j'obtient: un<<vn+1...
on admettra la a. por la suite de l'exercice.
b.MQ:u et v sont adjacentes:
Je trouve que u est croissante et v décroissante.
or, d'après la question précédente, un<<vn.
donc, u et v sont adjacentes.
c.Par contre, cette questions me pose problèmes:
Calculer le produit un*vn, en déduire que u et v converge vers racine de a.
6. un= Somme de k=1 à n de 1/k²
a.MQ: un<<2- 1/n
Démonstration par récurrence... (je ne vois pas vraiment comment la faire...)
b.MQ:u converge
d'après la question précedente, u est majorée, donc, il faut montrer qu'elle est croissante ainsi, on aura démontré qu'elle converge.
Petite question supplémentaire: si la puissance 2 dans la suite un avait été remplacé par un réel alpha supérieur ou égal à 2, peut on en déduire que la suite un converge vers ce réel alpha?
7. même type d'exercice que le 6:
un= somme de k=1 à n de 1/k
a. MQ: u2n - un >> 1/2 (pourquoi fait on cela?)
b.MQ u diverge vers plus l'infini.
Merci d'avance à ceux qui prendront un peu de leur temps pour me répondre...^^
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... etc
plus tard pour la suite ... 