Différentielles, dérivées partielles.

[Wöler]

Bonjour (ou bonsoir),

J'ai un problème de compréhension à propos de la formule de la différentielle totale.

df = (Df/Dx)*dx + (Df/Dy)*dy (pour une fonction à deux variables : z = f(x,y))

Je comprends que lorsque dy=0 : dz = (Df/Dx)*dx
et inversement (lorsque dx=0) : dz = (Df/Dy)*dy

Mais je n'arrive pas à voir que lorqu'on augmente x et y des quantités dx et dy, la différentielle totale est df = (Df/Dx)*dx + (Df/Dy)*dy. (D : d rond).

Citation tirée de wikipédia :
Il semblerait naturel que lorsqu'on augmente x et y respectivement des quantités dx et dy, l'augmentation totale soit obtenue en superposant les deux cas précédents.

Malheureusement pour moi, ce n'est pas naturel.
Si vous pouviez donc me l'expliquer.


J'ai essayé de voir graphiquement (j'ai exagéré dx et dy)
------> à voir en pièce jointe.

Mais, je ne vois pas graphiquement pourquoi df(totale) = df(1) + df(2)
avec df(1) différentiel de z si dy=0 et inversement pour df(2).
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[Seirios]

Bonjour,

Soit de classe , donc différentiable au point . Alors par définition, il existe telle que pour tout , , avec .

En notant la dérivée de f en X le long du vecteur h, on sait que * ; or par définition, . En utilisant la définition de la différentielle, .

On trouve donc bien .

Une justification de * : En notons , ; or il existe , tels que et (théorème des accroissements finis), d'où . Lorsque , on a et , donc (ayant supposé f de classe ) .

Donc finalement, l'addition des dérivées partielles vient de l'application du théorème des accroissements finis d'abord par rapport à la coordonnée x, puis par rapport à la coordonnée y.