Bonjour,
J'ai un exo dans lequel je considère une matrice A (3x3) qui n'admet pour valeur propre que 1.
Or quand on me demandait de trouver une matrice S telle que
J'étais habitué à trouver S en cherchant les vecteurs propres de A...
Comment fait-on dans ces cas là ?
Merci d'avance !
T c est quoi au juste?
C'est une matrice triangulaire que j'ai trouvé au préalable dans l'exercice.
peut être il y une méthode plus simple (dépende d exercice)
mais il y a toujours la méthode standard
- prendre une matrice S
A.S=S.T
- identification
- résoudre le système
- et c'est terminer
Bonjour,
Peux-tu mettre l'énoncé exacte de l'exo, ou du moins donner les hypothèses et expliquer d'où sort ce T ?
Silk
J'ai une matrice représentant l'application f :
On a définit que la seule valeur propre de A est 1.
On trouve un sous-espace propre engendré par le vecteur (0,1,0).
On définit g = f - Id et on prouve que g o g o g = 0
On démontre g o g (e1) est un vecteur propre de f.
Dans la base ((g o g)(e1), g(e1), e1)) on trouve une matrice associée à g
Et enfin je dois trouver une matrice S telle queavec
J'ai bien essayé d'identifier, mais à la fin il me manque une équation pour trouver des valeurs numériques
Il devrait pas y avoir de difficulté. D'après la forme de T, on a:
Ae1 = e1
Ae2 = e1+e2 --> (A-I)e2 = e1
Ae3 = e2+e3 --> (A-I)e3 = e2
On résoud les 2 dernières équations, puis S=[e1,e2,e3].
Une autre facon de procéder: ces équations peuvent se réécrire:
(A-I) e1 = 0
(A-I)^2 e2 = 0
(A-I)^3 e3 = 0
On commence par la dernière: on cherche e3 dans Ker( (A-I)^3 ) mais pas dans Ker( (A-I)^2 ) car e3 et e2 doivent être indépendents, et ensuite on calcule:
(A-I)e3 = e2
(A-I)e2 = e1
Ae1 = e1
dans l'ordre.
ça marche pour e3=(0;0;1) (vecteur colonne)
calcule les itérés de e3 par g et tu trouve e2 puis e1
mais ne confonde pas la base canonique et e1,e2,e3 de la repense de sylvainc2 (que je trouve tres claire)
e1,e2,e3 est la décomposition colonne de S (les vecteur colonne de S)
T est une matrice de Jordan
