Fonction injective, croissance et décroissance

[invite234d9cdb]

Bonjour,

je requiers votre aide pour m'aider à me sortir de quelque chose que je ne comprends pas ;

dans mon ancien cours de math, on définit toute fonction croissante comme une fonction pour laquelle pour tout x<y alors f(x)<=f(y).

Ceci me laisse conclure que si je suis face à une fonction croissante, mais pas strictement croissante, elle ne peut pas être injective puisque cela signifie qu'il existe au moins un x et un y tels que f(x)=f(y). Si c'était pas le cas on aurait alors dit que la fonction est strictement croissante.

Comment puis-je identifier une fonction croissante et une fonction strictement croissante ? Je me dis qu'une fonction croissante doit avoir f' toujours >=0 et strictement croissante f' > 0 (corrigez moi si ce raisonnement est faux).

Mais ça marche pas bien pour x^3. x^3 est une fonction qui est manifestement injective car je ne peux pas trouver x différent de y pour cette fonction tels que f(x)=f(y). Pourtant si je calcule f', je vois que f'=0 en le point 0. Conclusion x^3 est une fonction croissante, pas strictement croissante. Mais si x^3 est croissante alors il doit exister un x et un y tels que f(x)=f(y). Or, je n'arrive pas à trouver ce cas de figure pour cette fonction ! Je vois bien que la pente devient nulle en (0,0) mais ensuite la pente redémarre immédiatement à la hausse avant et après (0, 0) et il n'y a pas d'autre point x de la courbe telle que f(x)=0 à part x=0. Donc c'est à la fois croissant et injectif, ce qui me paraît impossible

D'avance merci à ceux qui veulent me tirer de ça !
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[invitebe0cd90e]

Je me dis qu'une fonction croissante doit avoir f' toujours >=0 et strictement croissante f' > 0 (corrigez moi si ce raisonnement est faux).

C'est faux. Une fonction strictement croissante peut voir sa dérivée s'annuler quand meme en un ou plusieurs points, comme le montre très bien l'exemple de x^3, qui est bien strictement croissante. Attention donc à cette erreur classique : le fait que la dérivée soit strictement positive est une condition suffisante pour que la fonction soit strictement croissante, mais nullement necessaire. La bonne formulation est: une fonction est strictement croissante si sa dérivée est positive (au sens large) et ne s'annule eventuellement que sur des points isolés (en terme plus technique, si l'ensemble des points ou la dérivée est nulle est d'intérieur vide).

[invite234d9cdb]

Ah et bien ceci règle donc mon problème, je te remercie infiniment