Maths TS : Divisibilité

[invitef8936fbd]

Je suis bloquée sur un exercice :

a. Démontrer que pour tout entier n, n² + 3_n + 2 est divisible par n+2.

b. Verifier que pour tout entier n, 3n² + 13n + 23 = (n+2)(3n+7) + 9
Derterminer les entiers relatif n pour lesquels 3n² + 13n + 23 est divisible par n+2.

c. Dans un repère (O, /i, /j), soit (c) la courbe d'équation y = (3x² + 13x + 23 ) / (x² + 3x + 2).


Ce que j'ai fait :

a. Il suffit de le montrer par récurrence.
On trouve au rang n+1 : (n² + 3n + 2) + 2(n+2).
Comme on la propriété vraie au rang n, n² + 3n + 2 est divisible par (n+2). 2(n+2) est aussi divisible par 2. Donc la propriété est vraie au rang n+1. Donc n² + 3n + 2 est bien divisible par n+2

b. Il suffit de developper la forme factorisée.
(n+2)(3n+7) + 9 = 3n² + 7n + 6n + 14 + 9 = 3n² + 13n + 23

Ensuite, on voit que (n+2)(3n+7) est toujours divisible par n+2.
Donc on regarde quand 9 est divisible par n+2.
9 = (3)(3) = (-3)(-3) = (1)(9) = (-1)(-9)

n+2 = 3 <=> n = 1
n+2 = -3 <=> n = -5
n+2 = 1 <=> n = -1
n+2 = -1 <=> n = -3
n+2 = 9 <=> n = 7
n+2 = -9 <=> n = -11

Donc S { -11, -5, -3, -1, 1, 7 }

c. Et là, je bloque.
Je suppose qu'il faut utiliser ce qu'on a dit précédement.
Donc on sait que 3n² + 13n + 23 = (n+2)(3n+7) + 9
Et que n² + 3n + 2 = (n+2)(n+1).
Mais je vois pas du tout comment le résoudre ensuite...

Donc si vous pouvez me donner un petit coup de pouce, ça serait sympa.
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[Jeanpaul]

Faut pas forcément mettre de la récurrence partout, ce n'est pas du ketchup.
n² + 3n + 2 = (n+2)*(n+1) et puis c'est tout.
Quant à la question c, tu n'aurais pas oublié un brin de l'énoncé ?

[invitef8936fbd]

Faut pas forcément mettre de la récurrence partout, ce n'est pas du ketchup.
n² + 3n + 2 = (n+2)*(n+1) et puis c'est tout.

Oui, tu as raison. Mais comme on est sur le chapitre récurrence, je ne pense que par récurrence... C'est une erreur, je sais, car du coup, je fais compliqué quand on peut faire simple... Et en effet, ici, il s'agit d'une simple factorisation !

Quant à la question c, tu n'aurais pas oublié un brin de l'énoncé ?

En effet, quelle nouille je fais !

c. Dans un repère (O, /i, /j), soit (c) la courbe d'équation y = (3x² + 13x + 23 ) / (x² + 3x + 2). Y'a t'il des points de (c) dont les coordonnées sont des entiers.

[invitef8936fbd]

Personne n'a une petite idée pour la question c ?
Ca fait maintenant plus de trois heures que je tourne le problème dans tous les sens, mais je ne vois vraiment pas...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Si (3 x² + 13 x + 23) / ((x+2)*(x+1)) est entier, c'est que 3 x² + 13 x + 23 est divisible par x+2, ce qui ne fait qu'un petit nombre de possibilités (question précédente).
Tu n'as qu'à les essayer...

[invitef8936fbd]

Oui, mais si je pose n = 7. Ca donne n+2 = 9.
Dans ce cas, (3 x² + 13 x + 23) est divisible par (n+2).

Mais avec ce même n=7, (3 x² + 13 x + 23) / ((x+2)*(x+1)) n'est pas entier...


J'ai fait de même pour toutes les solutions de la question précédente, et ça ne fonctionne pas.

[Jeanpaul]

Ben, si ça ne fonctionne pas, c'est que la réponse à la question est négative...

[shokin]

=((3*x^2 + 13*x + 23) / (x^2 + 3*x + 2)

=((3*x^2 + 9*x + 6)+(4*x + 17)) / (x^2 + 3*x + 2)
= 1 + (4*x + 17) / (x^2 + 3*x + 2)
= 1 + (4x+17)/[(x+2)(x+1)]

Est-ce que 4x+17 est le produit de deux entiers consécutifs ?

(oups, j'aurais pu directement poser la même questioon avec (4*x + 17)) / (x^2 + 3*x + 2). )

Si on suppose que x est entier, (x+1)*(x+2) est forcément pair, multiple de 2, ce que le numérateur ne peut pas être... (dans les deux cas)

Shokin