Bonjour
donc voila j'ai eu un exercice aujourd'hui dont l'énoncé est le suivant : n designe un entier naturel
Soit : f:[a,b] -> R une fonction dérivable. Montrer que si f s'annule en n+1 points distincts alors f' s'annule en n points distincts de [a,b]
Alors bien sûr nous avons fait la résolution de cet éxercice en posant une famille ....
Mais moi au début je suis partie sur une récurrence donc ma question est ce que cela peut marcher !! donc je résume en bref ma démonstration ( la rédaction ne sera donc pas extremement rigoureuse ^^)
donc initialisation au rang 1 : f s'annule deux fois entraine grace au théoreme de rolle f' s'annule ( f étant continue sur ]a,b[)
hérédité (alors c'est la où ca sent l'arnaque ^^)
j'ai supposé que le résultat est valable au rang n (ie : si f s'annule en n+1 distincts alors f' s'annule en n points distincts)
donc ensuite j'ai posé une fonction g s'annulant en n+2 points distincts , puis j'ai dit qu'il existe c tel que f(c)=0 dans [a,b] tel que la restriction de g au segment [c,b] s'annule en n+1 point .
D'apres l'hypothese de récurence f' s'annule en n sur [c,b]
Puis je me suis intéréssé a la restriction de g au segment [a,c]
il existe donc dnas ce segment un point d différent de c tel que g(d)=0 ( car f s'annule en n+2 points distinct) puis on a g(d)=g(c)=0 comme g est continue sur ]a,c[ d'apres le théoreme de rolle il f' s'annule sur ]a,c[
MERCI d'avance ( et je vous féllicite si vous avez tout lu jusqu'au bout ^^) sinon n'ayez pas peur de me dire que c'est n'importe quoi (je m'y attend un peu ^^)
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