Chaine de Markov irréductible => récurrente ?

invite00970985 · 19/01/2011, 17h30

Bonjour,

J'ai du mal à comprendre pourquoi une chaine irréductible ne serait pas récurrente. J'ai essayé de construire plusieurs contre exemples, mais sans succès. En auriez vous un à me proposer ?

Merci

inviteaeeb6d8b · 19/01/2011, 22h32

Salut,

déjà, le résultat (irréductible entraine récurrent) est vrai si l'espace d'états est fini. Il faut donc regarder une chaîne à espace d'états dénombrable.

Il faut juste se rendre compte que dans ce cas, le fait que tous les états communiquent entre eux n'entraine pas que le temps de retour en un élément $\text{[math]}$ est p.s. fini. Cela n'est pas absurde puisqu'il y a une infinité d'états...

Je n'ai pas d'exemple en tête par contre...

inviteaeeb6d8b · 19/01/2011, 22h45

On prend $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

On considère la chaîne $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ définie par :
$\text{[math]}$

et pour $\text{[math]}$ ,
$\text{[math]}$ ,
$\text{[math]}$ .

C'est une chaîne irréductible (OK) et transiente : la proba que le temps de retour en 0 soit infini est strictement positive.

Si $\text{[math]}$ , la chaine est récurrente nulle, et si $\text{[math]}$ , elle est récurrente positive.

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