Conjecture carrés sans suite

[invite18cff193]

Bonsoir,

Prenez un nombre entier n >=0
Élevez-le au carré
Si un ou 2 ou 3 ou plus de chiffres composant n figurent sur son carré vous les éliminez.
Sinon vous continuez à élever au carré le nombre obtenu.
Vous arrêtez quand les chiffres composant n sont les mêmes que ceux composant son carré. n=0 n^2=0 on arrête, n=1 n^2=1 on arrête.

Exemple : n=6
Son carré est égal à 36
Vous barrez le 6 du nombre 36 et vous élevez le nombre restant (ici c'est le 3) cela donne 9. 9 n'a pas de chiffre en commun avec le 3
On élève 9 au carré on obtient 81 etc...

Je donne le développement de la suite pour n=6

6 ----> 36
3 ---- > 9
9 ----> 81
81 ---> 6561
656 --->430336
43033 ---->etc..

Ma conjecture est la suivante :
Pour n'importe quelle valeur de n la suite définie plus haut est finie.
Peut-on la prouver?

Un contre-exemple?
-----

[invite18cff193]

Par exemple si n contient tous les chiffres de 1 à 9 son carré sera automatiquement éliminé, la suite s'arrête.

Exemple :
n=12345678987654321

n^2=12345678987654321^2= 152415789666209420210333789971 041

[invitea3eb043e]

Certes, mais il faudrait trouver un exemple où ça ne s'arrête pas. Par exemple trouver un exemple périodique.
Il y a une petite erreur dans le 1er exemple, mais ça ne change pas grand'chose.

[invitea3eb043e]

J'ai trouvé 1 cas : on démarre avec n=16
16²=256
25²=625
25²=625
etc...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite18cff193]

J'ai trouvé 1 cas : on démarre avec n=16
16²=256
25²=625
25²=625
etc...

16 ---> 256
25 ---> 625
6 -----> 36
3 etc....

[invitea3eb043e]

Là, je ne pige pas. On a dit qu'on enlève les chiffres dans n, donc dans 625, on enlève 6 et ça fait 25, non ? Pourquoi tu ne laisses que le 6 ?

[invite18cff193]

Là, je ne pige pas. On a dit qu'on enlève les chiffres dans n, donc dans 625, on enlève 6 et ça fait 25, non ? Pourquoi tu ne laisses que le 6 ?

Tu enlèves dans n^2 les chiffres présents dans n

n=198
n^2=39204 (tu enlèves le 9 qui appartient à 198 et tu continues)
3204^2 =10265616 (là tu barres le 0 et le 2 qui appartiennent à 3204)
165616^2 etc...

[invitea3eb043e]

Alors, ta formulation n'était pas bonne, car on comprend que n est le nombre de départ.

[invite986312212]

autre conjecture : "toutes les suites sont bornées"

hélas je n'ai pas d'idées pour aborder ce problème.

[invite18cff193]

Le contre-exemple serait une suite qui revient à son point de départ.
Dire que toutes les suites sont bornées est une évidence si l'on considère que l'infini est une borne au sens mathématique.
Pas facile à prouver à moins de faire une étude poussée sur les chiffres et leur carré.
Tous les nombres contenant les chiffres de 1 à 9 s'arrêtent à U(1)
De même pour 11111111111111111^2

[erik]

autre conjecture : "toutes les suites sont bornées"

hélas je n'ai pas d'idées pour aborder ce problème.

La réponse est non. L'infini n'est pas considéré comme une borne.

[invite986312212]

La réponse est non. L'infini n'est pas considéré comme une borne.

donne plutôt un exemple de suite non bornée.

[erik]

Un=n².

Quelle est la borne supérieure ?
Aucune, la suite tend vers l'infini.

[erik]

autre conjecture : "toutes les suites sont bornées"
hélas je n'ai pas d'idées pour aborder ce problème.

Youps, excuses, je n'avais pas compris.
Je pense que tu voulais dire "toutes les suites définies par PointRond sont bornées".

Dans ce cas : oui problème ouvert.

[invite18cff193]

Dans cette suite il y a des nombres équivalents :

Le nombre 2 équivaut 20 ou 200 ou 2000 ou de manière générale 2*10^k

20 va donner 400 (on barre les zéros de 400 et on retrouve 4)

200 ----> 40000
4 -----> 16
etc....

10 équivaut à 10^k car tout 10^k élevé au carré ne contiendra que 1 et des zéros comme chiffres or 10 contient 1 et zéros.
Je dis cela pour les initialisations : quand on a essayé le 10 nul besoin d'essayer 100, 1000, 10000 etc...
En fait, ce qui est difficile à prouver c'est que la suite n'est pas infinie.
En revanche on peut essayer de construire un nombre qui serait cyclique. Quelles sont les conditions pour que l'on retrouve le 3 par exemple? Il faut que dans la suite engendrée par le nombre 3 l'on puisse retrouver un carré tel que le nombre qui le précède puisse éliminer tous les chiffres sauf le 3. Et là cela devient un casse tête puisque les carrés sont liés par une relation 'atrophiée'.
Je viens d'avoir une idée que je m'en vais tester.

[invite986312212]

Youps, excuses, je n'avais pas compris.
Je pense que tu voulais dire "toutes les suites définies par PointRond sont bornées".

Dans ce cas : oui problème ouvert.

ce n'est pas facile à intuiter. Plus on arrive à de grands nombres, plus on va trouver de chiffres à leur enlever. Si les chiffres sont plus ou moins aléatoires, un très grand nombre va contenir tous les chiffres, et donc son carré sera dépouillé de tous ses chiffres et la suite s'arrêtera là. Mais qui dit qu'il n'existe pas une suite particulière qui ne s'arrête pas?

[invite18cff193]

Je veux bien sauf que l'intuition n'a jamais été une preuve.
Contrairement à Syracuse la suite est longue on a globalement une alternance des chiffres (0,1,2,3,4) avec les (5,6,7,8,9).
Le risque d'une suite qui tourne sur elle-même sans atteindre 0 est faible (quoique possible). Le sauf dû à l'élévation au carré est assez grand pour que cela reboucle etc...
Les nombres qui s'équivalent et qui engendrent une même racine sont nombreux :

b est équivalent à b*10^n

3 = 30 = 300 = ....

[skeptikos]

Bonsoir,
Passe les nombres en binaire et la suite est obligatoirement finie.
@+

[invite18cff193]

En base 2 la suite n'aurait aucun intérêt mathématique.
En base 10 cela se corse et il ya matière à réflexion.
Pas facile à prouver cette conjecture.
De plus, on peut généraliser la conjecture à un k >2
k=3 on élève au cube
k=4 etc....

Je cherche à trouver une suite qui tourne en rond sans converger vers zéro. Ce serait le meilleur contre-exemple à mon avis .

[skeptikos]

En base 2 la suite n'aurait aucun intérêt mathématique.

En stricte mathématique, le résultat ne change pas suivant la base numérique utilisée. Aussi j'ai voulu vous montrer que cette "conjecture" n'est pas mathématique mais une simple distraction.
@+

[invite18cff193]

En stricte mathématique, le résultat ne change pas suivant la base numérique utilisée. Aussi j'ai voulu vous montrer que cette "conjecture" n'est pas mathématique mais une simple distraction.
@+

Pourquoi des guillemets pour conjecture?
Un grand nombre de conjectures ont d'abord été formulées en base 10.
L'intérêt mathématique a plus à voir avec ce qu'il implique en termes de connaissance qu'avec les bases de numération qui ne sont que des représentations et des conventions.
Avec un système de numération infini, il n'y aurait pas de problème de primalité. Cela n'aurait aucun sens car chaque nombre serait unique.
Quel intérêt aurait-on à étudier une suite en binaire qui s'arrête à U(1)?

Bonne suite moi je me barre.

Merci pour certains commentaires.

[Médiat]

Avec un système de numération infini, il n'y aurait pas de problème de primalité. Cela n'aurait aucun sens car chaque nombre serait unique.

Je n'ai rien compris !

Qu'est-ce qu'un système de numération infini ?
Pourquoi cela serait-il lié à la primalité (qui est indépendante de la base) ?
Que veut dire qu'un nombre est unique ou non ?


Quant à la remarque, peu amène, de skeptikos, elle n'est que partiellement justifiée ; dire d'un nombre que sa suite "PointRond" est finie ou non est une mauvaise formulation puisque cette suite ne dépend pas que du nombre, mais aussi de la base dans laquelle on l'a écrit, ce n'est donc pas une propriété intrinsèque de ce nombre ; ce n'est pas le seul exemple (nombre univers par exemple, et en particulier les constantes de Champernowne), pour être plus formel, définir votre suite par (le n^ième terme de la suite commençant par x) n'a pas de sens pour la raison ci-dessus, mais on peut très bien l'écrire (le n^ième terme de la suite commençant par x lorsqu'on utilise la base y), et cela devient une propriété intrinsèque du couple (x, y), et votre conjecture, au sens de skeptikos, perd ses guillemets, et devient une vraie conjecture de stricte mathématique et non une distraction.

[Amanuensis]

En base 3 on a tout de suite un exemple cyclique

2 --> 11 --> 2

[skeptikos]

Bonjour,
Je me rallie au point de vue de MEDIAT, mais j'aurais quand même mieux vu ce post dans la rubrique "science ludique" que dans "Mathématiques du supérieur".
@+

[invite7863222222222]

Par exemple si n contient tous les chiffres de 1 à 9 son carré sera automatiquement éliminé, la suite s'arrête.

Exemple :
n=12345678987654321

n^2=12345678987654321^2= 152415789666209420210333789971 041

Un contre exemple dès n égal à .......... 2 :

---------------------
2
4
16
25
6
3
9
81
656
43033
18518989
3422322
11718787168
33299240224
118856557176
42330949
17161
29449992
867300880006
522114591215
760366360676
5815244491919
3370600766306
11949525822594424885
7673066707030763
588595295491951215828219
3677367060073676
15228494514919915481529
307006336673077
94252895422844929
360767367310101
595844292
303003016
9882775925
663606
4472922
311808
972242264
55501085
3374367722
11855598
4020337604
11115181
23472466276
55095095081
3346443366
111988201850995
43733444
1912611210116
358843873345
126922201902
4533555474
201228666
449973955
20266018202
474937379534
2261862262016
593333345
2082888802
433457614969954
8880080000222
7551347555494
228086200806
5331499114955493
282882827720627770870
941913159133195559
88720082768002662887228
15331434494545139455394
2028866028777206870266626
41193194131351913943
668722727608082778072
44194195945551949514314
2627807286778600806
953113441153394413493
82270726072066866060
434595553399993
18887200616722222000
35343333994
121127811206
49445539443
28617080268702
933533333544
87188877716
9003935035
8178461144122
5933335550
2447748882
5991593399
84840720
19911
364472
189888
36057452544
1198898119
437356674736
191280809110099
36534733435337
181911109009
336554262
11877170
46629
1731
29966
87115
902322
8141841684
295007399555
8641418
770505072
936869184
777272255
6041183980
52
704
95616
4244
18011536
2444297929
55365136801
297299444
88386500136
727429249
5153313000001
26664879796626
110151551331103
264266486999669
37715115501051
4224299264228246
1770737530051573351
446662988692
1507577170
22288923289
4676101657751
28923233838
65545564761044
2922982299899993
5455556561570140004
29393998839222
64007167760144055654
992222298293
450504070714
22939298826996
51140740015401
26328932283398
1751757414404
3686389938386626
154707771547557
239392823266829
57014077171541
3269922329368
100400447075744
8293929283336
75741457
36683088289
14544154751
23232038200
59775996594
33188080083
4465959562269
178118118088831
266995645694656
718781070878833
5664622529495496449
308780173733317771001
954595699592529656542
1180118071778083377
92666225494922525562429
88703778700083013187738001
665565665929595245995946
77308080803377831
5965955595964994226456
3173003873313810313
6955644426645455969
8380838330317017781
24599446994696
137880131
9952456
1380313
9526977969
3301811341
99555622
113187180884
29665256
8800741343
56969
32441
588
34744
1201556
4437383
19690669
38772244575
10699616906
448835283
1111669009
235878557428
6691991
4478274354408
91199196
8372335044
99999196
8320044
69116196
477704854504
2221921669616
43350505305758745
19266126611126192
3783345544807405484084
111111262291291196
345707408878448704
119161291129929616
443303758458070730745
196122226116992222
384375770840033540084784
12699299192666
78484733888755
61961002
3835788444
11229129116
334070378445
111612612
457375574544
209192161891008096
4373533733533337545
191291800299069066202
3555554735535744
12619699061820166
554447774755
30123393012131002
748865688667544
9919319310199193
8285577654426778524
9033919013001
866274662726
503191105053510
222882472762
959503190
264676276
53531081
2676626
143438
205759
43366681
90209557
81364141364
20299900975709
41863118681
752520705999797
668418431336441
799502905
63481343
29090909
84688644681
772537909597
68148164444
723705293
41116184
90505725
811866
5924095
316
9985
70022
4938484
26221256
87473
65152529
444803084
197975591156
343343433
117887129822589
333006466
1189978915
46044422
188797318
564442224
318903017
642522
18308
5264
77099
54425581
9636776
2845141
97309
4641481
25335733
641899666489
203532572
4148649184
7220050355
1911866
3552305
16188781
22030259
48116781
23522309
61481
3779933
1428848448
6077350070
941882949
73663660
542484595
31310
986
721
5984
3026
9157
838064
725129
806664
579
33241
9608
23134
558956
31243103
976856869
424342124311
800668677777
413315319453129
708607767806
52124959521533
770076067008
59311495924
78876686776
221531159213241
76006780708
53135949124
8080866776
534514341
28708076628
415339119534
7206822780776
5193945935119135511
2677077600888822
14441159339444544
208708067226780676
435595355349355919
87606628620806
491333499393
2086076257768
4311413334313414
8588289929550522780596
33141344133114111
988690999705529757202
1444313134
20860029090956
431413733733
86809658225289
7317111413371331
550956889965929256
3334477747133
8862560899689
74477171
55689000632
1147144
3593935636
12177107244
8898385536
7112147240072
55863836636685658
12072477002794901029294
5835666535866663836
4000917402140927240249
6358568583336558
4041944299421942799274
633336538533356
401111710414112940724227
6863335553688665
47107492229777494222
58856835833858
441271247711141791414
305658568860530836
94271717774719179
888566303503030
797721244921919
6363585606656
449221772941112
800083558566665
41791924922222
65688060308
41492127274444
56655865680055036
2971194471199129
88658568808603586
741219929429299
506838388383630
2119917241979
8385003836
72929747149
5388003680
299424
865731776
4949094
235312836
7079
5112241
63008008
97972124
585308036
4249717729
80600066
4937392435
801
646
1731
---------------------

Tu remarqueras que ca boucle sur le 1731 à la 410 itération on revient à la 103 ...

[invite7863222222222]

Bonjour,
Je me rallie au point de vue de MEDIAT, mais j'aurais quand même mieux vu ce post dans la rubrique "science ludique" que dans "Mathématiques du supérieur".
@+

Je nuancerais cet avec le fait que ca en dis long sur les "intuitions" un peu trop rapide et qui peuvent fourvoyer certaines recherche de "théorèmes".

[invite7863222222222]

Just for fun pour n = 7 (ca converge pour 3,4,5,6 aussi) :

---------------------
7
49
201
44
1936
7480
5595
3130402
97996686
3350425
117686
34999459
122621022681
5359533343477
282681082
799594974
6332122606066
49577985749995
2661026022620002
7859493873957849484
61160612606626
37453447779989387
1026006011121266
588334859748745574475
610161216611262
3797553538885344
1211200026
47559847
22613066630
5578489559
31112011
9679578464
32320322
14461418684
20932303539295
481611461181867
239959953299059
78771878676788481
205000203232023
4817717679
232003350
84411
7252692
141484
2007722256
43948393
11612722
3485534984
1211267026
4884884
236209169356
747787848447
559166662993031109
777448744788
60265502365169
7748
6003150
789922
6366604
59281
34366
118102195
34463
1187989
43642
1901
3638
125044
636936
40587480
163332
7744
59969536
424802
156739
2442
596336
1248
55750
31862
57044
321936
47880
22929
5573041
889868
715057424
3966
157215
466
21715
44
---------------------

[invite7863222222222]

Correction :

Just for fun pour n = 7 (ca boucle pour 3,4,5,6 aussi) :

[invite18cff193]

Je n'ai rien compris !

Qu'est-ce qu'un système de numération infini ?
Pourquoi cela serait-il lié à la primalité (qui est indépendante de la base) ?
Que veut dire qu'un nombre est unique ou non ?

Un système de numération à base infinie est un système où chaque nombre a une graphie spécifique et unique et par voie de conséquence aucune des opérations élémentaires ne peut s'appliquer donc bye bye primalité : tous les nombres sont premiers si premier a toujours un sens. Aucun nombre ne peut être exprimé en fonction de l'autre. Un nombre est soit > soit < à un autre.
C'est un système fictif bien sûr.

[invite18cff193]

Merci pour les contre-exemples.

Reste à tester k>2
k=3 où n est élevé au cube
k=4
etc....

Peut-on conclure que quelque soit k, on aurait toujours un nombre qui boucle?
Existe-t-il un seuil de k où il n'y aurait plus de nombres qui bouclent?