Serie absolument convergente

[invite340b7108]

Bonjour,

J'aimerais savoir s'il etait possible de démontrer qu'une série etait absolument convergente si on connaissait sa somme partielle ?
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[invite4382e34e]

Bonjour,

Il y a plusieurs critères que tu peux utiliser pour démontrer cela:

Celui de d'Alembert, de la limite supérieur ou tu peux voir si ta suite de sommes partielles est de Cauchy.

Cordialement

[invitec317278e]

salut,

si on note sa somme partielle, alors, la convergence absolue de la série équivaut à la convergence de

[invite340b7108]

Merci Est-ce que tu peux m'expliquer pourquoi cela equivaut à ça ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

ben

[invite340b7108]

D'accord, donc on est forcément obligé de démontrer la convergence absolue avec comme terme général a_n.

[invite340b7108]

En fait, je dois étudier la série de fonction de terme général

avec , ,

J'ai trouvé que la somme partielle

et maintenant je dois montrer la convergence absolue de

Est-ce que je peux utiliser quelque chose comme, la limite de quand n tend vers est 0, donc on a ?

[Seirios]

Bonjour,

Les fonctions étant positives, la convergence absolue équivaut à la convergence simple ; donc il suffit de montrer que la suite des sommes partielles est convergente (ou bornée). (Par contre, fais attention à ton expression, elle n'est valable que pour .)

[invite340b7108]

Oui, pour le x = 0, ça tend vers 0. Par contre je n'arrive pas à montrer que la suite des sommes partielles est bornée Je dois utiliser quoi comme méthode ?

[Seirios]

Et si tu faisais tendre n vers l'infini ?

[invite340b7108]

Je trouve qu'elle tend vers

Et là c'est bon, je peux en conclure que ça converge ? En fait, ça me gêne parce qu'il y a toujours des x. Est-ce qu'il faut que je fasse tendre les x aussi ?

[Seirios]

Je te rappelle la définition de la convergence simple d'une série de fonctions : la série (de fonctions) converge simplement vers la fonction f sur I, si pour tout , la série (numérique) converge simplement vers f(x).

Il est donc normal que ta limite dépende de x, puisque du trouve l'expression de f(x).

[invite340b7108]

D'accord, donc là c'est bon ? Ca converge simplement ?

Je suis désolée si ça vous semble bête mes questions, mais je suis mes cours par correspondance, donc je n'ai personne pour m'expliquer (à part vous ^^) et les corrigés des exercices ne sont pas toujours bien détaillés. Bref, c'est un peu confus dans ma tête. Quand vous dites que la série de fonction tend vers la fonction f, je ne vois pas trop à quoi correspond la fonction f, pour moi une fonction est forcément avec des x.

Merci encore pour toutes les réponses !!

Sinon, pour la suite de mon exercice, on me demande d'étudier la convergence uniforme en fonction de a. Pour a = 1, je trouve que ça ne converge pas uniformément parce que pour x = 0, S(0)=0 et pour x > 0, , et comme la fonction S n'est pas continue, la série de fonction de terme générale U_n ne converge pas uniformément.
Par contre, pour a < 1, je ne vois pas comment montrer qu'elle converge uniformément. J'ai essayé avec [TEX]sup | S_n(x) - S(x) | = sup |\frac{x^{2-a}(1-e^{-nx})}{e^x-1}-\frac{x^{2-a}}{e^x-1}|=sup|D'accord, donc là c'est bon ? Ca converge simplement ?

Je suis désolée si ça vous semble bête mes questions, mais je suis mes cours par correspondance, donc je n'ai personne pour m'expliquer (à part vous ^^) et les corrigés des exercices ne sont pas toujours bien détaillés. Bref, c'est un peu confus dans ma tête. Quand vous dites que la série de fonction tend vers la fonction f, je ne vois pas trop à quoi correspond la fonction f, pour moi une fonction est forcément avec des x.

Merci encore pour toutes les réponses !!

Sinon, pour la suite de mon exercice, on me demande d'étudier la convergence uniforme en fonction de a. Pour a = 1, je trouve que ça ne converge pas uniformément parce que pour x = 0, S(0)=0 et pour x > 0, , et comme la fonction S n'est pas continue, la série de fonction de terme générale U_n ne converge pas uniformément.
Par contre, pour a < 1, je ne vois pas comment montrer qu'elle converge uniformément. J'ai essayé avec mais là je bloque. En plus, je ne comprends pas pourquoi dans mes exercices, quand on veut montrer que ça converge uniformément on utilise sup m_n alors quand dans mon cours le theoreme dit que c'est pour montrer la convergence normale. Parce que si ça ne converge pas normalement, ça ne veut pas dire que ça ne converge pas uniformément ile me semble ?

[Seirios]

Comme je n'ai pas très bien compris ce qui te posais problème, faisons un petit tour d'horizon des différentes convergences :

1. La convergence simple : si pour tout , la série numérique existe (=converge), alors on dit que la suite de fonctions converge simplement sur I vers la fonction .

2. La convergence absolue : Une fois que l'on a la convergence simple vers f, on dit que la série de fonctions converge absolument vers f si la série de fonctions converge simplement.

3. La convergence uniforme : Une fois que l'on a la convergence simple vers f, on dit que la série de fonctions convergence uniformément vers f si la suite de focntions converge uniformément vers f, ce qui revient à dire que le reste (la suite de fonctions ) tend uniformément vers zéro.

4. La convergence normale : une fois que l'on a la convergence simple de la série vers une fonction f, on dit que la série de fonctions converge normalement vers f sur I si la série numérique est convergente, en notant .

Un point méthode : on commence toujours par la convergence simple, parce que c'est ce qu'il y a de plus simple à prouver, et parce qu'il est possible que l'on obtienne l'expression de f ; cela dit, on peut rarement obtenir l'expression de f (on ne sait calculer que quelques sommes de série), mais il ne sert à rien d'étudier les autres types de convergence s'il n'y a pas convergence simple, puisque : convergence normale => convergence uniforme => convergence absolue => convergence simple.

Pour étudier la convergence simple, on utilise les méthodes sur les séries numériques ; pour la convergence uniforme, on essaie déjà de prouver la convergence normale, qui est plus simple à prouver, sinon on prouve la convergence uniforme du reste vers la fonction nulle ; pour la convergence normale, soit on majore le terme générale par le terme générale (indépendant de x) d'une série convergente, soit on calcule le sup de la fonction sur l'intervalle considérer.

Pour montrer qu'il n'y a pas convergence uniforme, on peut utiliser les résultats sur la continuité, la dérivabilité (très rare), l'intégration ou bien trouver une suite telle que ne converge pas ; pour montrer qu'il n'y a pas convergence normale, soit on calcule le sup et on montre que la série diverge, soit on minore le terme général par le terme général d'une série divergente ; pour montrer qu'il n'y a pas convergence simple ou absolue, on utilise les méthodes sur les suites numériques.

Est-ce plus clair ?

[invite340b7108]

C'est plus clair pour les différentes méthodes, mais j'ai un peu de mal à l'appliquer à mon exercice.

Donc, si j'ai bien compris, pour montrer la convergence absolue, je dois montrer que la suite des sommes partielles converge. Je trouve que, quand n tend vers , tend vers . Et ça, ça me permet de dire que la série converge simplement donc ici absoluement aussi, parce que c'est un nombre fini ?
Et pour la convergence uniforme, je ne comprends pas très bien parce que pour a = 1, j'utilise la fait que ne tend pas vers 0 pour x > 0, alors que quand x = 0 cela tend vers 0, donc c'est discontinus. Donc quand a < 1, je ne vois pas pourquoi tendrait vers 0 avec x > 0, donc ça devrait être la même conclusion normalement.

[Seirios]

Donc, si j'ai bien compris, pour montrer la convergence absolue, je dois montrer que la suite des sommes partielles converge. Je trouve que, quand n tend vers , tend vers . Et ça, ça me permet de dire que la série converge simplement donc ici absoluement aussi, parce que c'est un nombre fini ?

Dans une rédaction impécable, on dirait : On a pour tout n, , donc converge, et si , converge vers ; ainsi, les sommes partielles convergent, donc la série est simplement convergente. Comme la série est positive, on en déduit qu'elle converge absolument.

[Seirios]

Et pour la convergence uniforme, je ne comprends pas très bien parce que pour a = 1, j'utilise la fait que ne tend pas vers 0 pour x > 0, alors que quand x = 0 cela tend vers 0, donc c'est discontinus. Donc quand a < 1, je ne vois pas pourquoi tendrait vers 0 avec x > 0, donc ça devrait être la même conclusion normalement.

Pour la convergence uniforme, je te conseille d'utiliser le reste de la série, et de montrer qu'elle converge uniformément vers la fonction nulle.

[invitec317278e]

Dans une rédaction impécable, on dirait : On a pour tout n, , donc converge, et si , converge vers ; ainsi, les sommes partielles convergent, donc la série est simplement convergente. Comme la série est positive, on en déduit qu'elle converge absolument.

Dans une rédaction impeccable, on dirait pas que la série est positive, mais à termes positifs De plus, une qualification de convergence simple s'accompagne d'un intervalle
Comment ça je fais chier ?

[invite340b7108]

Merci beaucoup !!

[Seirios]

Dans une rédaction impeccable, on dirait pas que la série est positive, mais à termes positifs De plus, une qualification de convergence simple s'accompagne d'un intervalle
Comment ça je fais chier ?

Pour la série, c'est un oublie ; pour la convergence, je m'étais dit la même chose, et finalement, après avoir hésité entre enlever le mot impécable et rajouter l'intervalle de convergence, il était trop tard pour éditer, alors j'ai laissé comme c'était

[invite340b7108]

Pour prouver la convergence uniforme de la suite des restes de la série, je tombe sur et je ne vois pas comment trouver le sup pour enlever les x. J'ai essayé de calculer la dérivée mais ça me donne plein de termes avec des + et des - donc pas facile pour trouver le signe.

[Seirios]

Tu as , cela devrait considérablement simplifier tes calculs.

[invite340b7108]

Ah merci, je ne savais pas du tout qu'on pouvait faire comme ça !!!