[Exo] Division euclidienne

[invite521eae94]

Salut,
J'ai un petit problème pour un exo sur la division euclienne:
Dans la disvision euclidienne de a par b, le reste r est supérieur ou égal au quotient q. Prouver que, si on divise a par b+1, on obtient le même quotient. (a et B deux entiers et b différent de 0)

J'ai tout d'abord exprimer l'énnoncé en "language mathématique"
a = bq + r 0=<r<b
a = (b+1)q' + r' 0=<r'<(b+1)

Ensuite,
bq + r = (b+1)q' + r'
or r'<(b+1) alors r'-1<b donc (r'-1) = r (là je suis pas sur!)

ce qui nous donne
bq + (r'-1) = (b+1)q' + r'
<=> bq = (b+1)q' + 1

voilà ou j'arrive après je suis plus trop quoi faire! j'ai essayer plusieurs choses mais je n'aboutie à rien!

merci

bye
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[doryphore]

Il y a une condition que tu n'exploites pas pour l'instant: r>q, peut-être que ça décoince le truc...

[doryphore]

En fait, a=bq+r avec r>q, donc a= bq+q+(r-q) et en posant r'=r-q c'est fini...

[invite6f0362b8]

deuxième approche

division euclidienne : div (a,b)

div(a,b) = qb + r

si r > q alors div(a,b) = qb + r - q + q = q(b+1) + (r-q)


trop rapide doryphore..la patate !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[doryphore]

Pour la rédaction, évite les div(a,b)=...
et n'oublie pas de dire que r'<r<b<b+1 ....

trop rapide doryphore..la patate !! et oui, la patate, le plat préféré des doryphores...

[invite521eae94]

merci pour les réponses, je savais pas que r>q
mais je comprends pas pour tu dis que r'=r-q enfin on en sais rien???

[invite6f0362b8]

r >= q c'est dans l'enoncé

Dans la disvision euclidienne de a par b, le reste r est supérieur ou égal au quotient q. Prouver que, si on divise a par b+1, on obtient le même quotient. (a et B deux entiers et b différent de 0)

[invite6f0362b8]

r >= q c'est dans l'enoncé

Dans la disvision euclidienne de a par b, le reste r est supérieur ou égal au quotient q. Prouver que, si on divise a par b+1, on obtient le même quotient. (a et B deux entiers et b différent de 0)

la division euclidienne da a par b implique

a = q . b + r

Puisque par définition r >= q alors

r - q >= q - q , en posant r-q = r' on a r' >=0


on peut ecrire

a = q .b + r - q + q

a = q . b + q + r' .. puisque r' >=0 alors r' peut etre considérer comme un reste

a = q . ( b + 1 ) + r'

On en deduit que si r>=q , on peut divisiser a par (b+1)

[doryphore]

Oui, en général, on ne sait pas si r est plus grand, égal ou plus petit que q, il n'ya aucune condition imposée.

En revanche, tu traites un exercice où on fait l'hypothèse que r>=q, c'est un cas particulier...

Tu sais que a peut s'écrire d'une unique façon de la forme a=bq+r, donc q et r peuvent être connus une fois que a et b le sont: tu fais la bonne vieille division avec reste du CM2. (appelé algorithme de la division euclidienne)

Là, tu te trouves par hypothèse dans le cas où r>q, ce n'est pas toujours le cas, la seule chose imposée par la définition de la division euclidienne étant que 0<=r<b, rien a priori entre r et b.

Toi, tu cherche à écrire, a=(b+1)q'+r' avec 0<=r'<b+1.

LA chance que tu as, c'est que comme r>=q, r s'écrit q+ un petit quelque chose de positif que j'ai choisi d'appeler r' quand j'ai vu que:

a=bq+r=(b+1)q+(r-q), en effet, en développant on a (b+1)q+(r-q)=bq+q+r-q=bq+r=a.

On vient de montrer que a peut s'écrire a=(b+1)q+(r-q), ça ressemble à lécriture de la division euclidienne de a par b+1 à condition que 0<=r-q<b+1.

0<=r-q car r>=q par hypothèse de ton énoncé er r-q est inférieur à b+1 car r-q<=r<b<b+1 (r<b par definition de ta première division euclidienne).

Voilà...

[invite521eae94]

hum!!! tout s'éclaire!
merci beaucoup

[invitea17adcdd]

SVP pouvez vous me dire comment démontrer que le reste de la division euclidienne de "10"puissance"n" par 9 est 1
merci d'avance.