somme de suites tendant vers 0

[invite2016c00b]

Bonjour, il y a quelque chose que je ne comprends pas bien;
On sait que si deux suites tendent vers 0, alors leur somme aussi.
Mais pourtant si on somme des suites qui tendent vers 0 un nombre dépendant de n : cela ne temps plus forcément vers 0 : exemple si on somme n fois la suite 1/n ; la suite obtenue tend vers 1.
Le truc est que je ne vois pas pourquoi on pourrait pas le prouver par réccurence :
Soit une famille infinie (un)(k) de suites tendant vers 0 :
Soit (Un)(1) : elle tend bien vers 0
Supposons que la somme de k de ces suites (que l'on nomme (Vn) tend vers 0
Alors alors la suite (Vn) + (Un)(k+1) tend vers 0.
Donc cette propriété est vraie pour tout k, même losqu'on le fait tendre vers l'infini.
Vu ce que j'ai écris plus haut : ceci est évidemment faux, mais je ne comprends pas pourquoi. Merci
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[invite1e1a1a86]

mais quand tu fais



tu ne fais pas

ce que tu as démontré par la récurrence.

Le nombre de terme dans la somme n'est pas indépendant du rang choisi de la suite U.

imagine un tableau (de taille infinie) avec des 1 que sur la diagonale et des 0 ailleurs.
pour toutes les lignes, à partir d'une certaine colonne, l'élément du tableau est bien nul.
Pourtant, si je prend ligne=colonne=n que je fais tendre vers l'infini, j'obtient toujours 1.

[invite2016c00b]

merci de ta réponse, mais je ne comprends toujours pas bien : justement si je démontre pour k, et n allant vers l'infini n'ai je pas démontré que cela vaut pour tout le tableau ?

[invite1e1a1a86]

tu démontres pour n vers l'infini puis k tend vers l'infini. Par le même raisonnement, tu peux aussi montrer que c'est vrai pour k vers l'infini n vers l'infini. mais tu ne l'as pas montré pour k=n puis n vers l'infini (en même temps!).

exemple:



la limite quand x va vers l'infini vaut 0 puis y vers l'infini => 0
idem en inversant les deux limites.

mais si je fais x=y puis x tendant vers l'infini...

"merci de ta réponse, mais je ne comprends toujours pas bien : justement si je démontre pour k, et n allant vers l'infini n'ai je pas démontré que cela vaut pour tout le tableau ?"

en fait, tu l'as montrés pour toutes les cases à colonnes fixés et toutes les cases à lignes fixés. mais si je part à l'infini en "colonne et ligne", tu n'as rien montré.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2016c00b]

Ah donc quand on montre quelque chose pour tout k cela ne vaut pas pour k allant à l'infini ?

[invite57a1e779]

On sait que si deux suites tendent vers 0, alors leur somme aussi.
Mais pourtant si on somme des suites qui tendent vers 0 un nombre dépendant de n : cela ne temps plus forcément vers 0

Si deux suites tendent vers 0, alors leur somme aussi.
Si trois suites tendent vers 0, alors leur somme aussi.
Si quatre suites tendent vers 0, alors leur somme aussi.
...
Si deux millions trois cent quatre-vingt-cinq mille cinq cent trente-trois tendent vers 0, alors leur somme aussi.

Par récurrence, tu prouves que, pour tout entier k :
Si k suites tendent vers 0, alors leur somme aussi.
Mais il y a toujours un nombre fixé de suites à additionner.

Tu ne peux pas, même par récurrence, envisager un énoncé dans lequel k serait variable.

[invite2016c00b]

D'accord merci