Anneau

[carogo]

Voilà, j'ai un exercice à propos d'un anneau. Dans chaque question je connais les propositions énoncées mais le soucis c'est qu'à chaque fois je ne vois pas comment démontrer cela...
Pourriez-vous me donner quelques pistes pour résoudre mon exercice que voici :

Soit R un anneau,
a) Soient a,b € R deux unités. Montrer que ab est une unité dans R et que (ab)^-1=(b^-1)(a^-1).
b) Si a, x, y € R et xa=1=ay, montrer que x=y et a est une unité avec (a^-1)=x.
c) Si a,b € R commutent enter eux (ab=ba) et ab est une unité dans R; c'est à dire, il existe c € R tel que (ab)c=1=c(ab), alors a et b sont des unités. (Regarder a(bc)=(cb)a=1)
d) Dans le cas où R est commutatif, soient A,B € M²(R) tels que AB=I où I désigne la matrice identité. Montrer que dét(A) € R et conclure que A est inversible. En déduire que B=A^-1.

Merci pour votre aide
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[invite899aa2b3]

Pour le a la réponse est dans la question puisque l'on te donne un inverse de . Il suffit d'utiliser l'associativité.

[carogo]

Ba oui mais c'est ça le problème. On me demande de démontrer une chose et j'ai besoin d'utiliser ce que je dois démontrer juste après.
Alors est ce que je peux quand même utiliser la deuxième partie de la question?

[God's Breath]

Pour le a : tu poses ; tu vérifies que et tu as prouvé, d'un seul coup, que est une unité et que .

Pour le b : il suffit de voir que .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

ces questions n'ont d'ailleurs rien à voir avec la structure d'anneau...

[God's Breath]

ces questions n'ont d'ailleurs rien à voir avec la structure d'anneau...

Vive les magmas unifères !

[invite986312212]

j'aurais dit monoïdes... j'ai oublié en fait. il y a eu des "groupoïdes" aussi.

[carogo]

J'ai du mal à comprendre pourquoi x=x(ay)...
Je ne vois pas comment ça peut nous mener à x=y

[God's Breath]

J'ai du mal à comprendre pourquoi x=x(ay)

Parce que ay=1 !