espace en dimension infinie

[invite371ae0af]

bonjour,
pouvez vous m'aider pour résoudre cet exo

Soit E l'espace vectoriel des fonctions définies sur R à valeur dans R. Pour tout (x,y) appartenant à RxR on pose f_y(x)=e^xy

a) Vérifier que f_y appartient à E pour tout y dans R
b)Montrer que la famille {f_y:y appartenant à R} est une famille libre de E

pour la a) j'ai dit que l'exponentielle était une fonction définie sur R à valeur dans R⁺donc dans R
donc f_y appartient à E pour tout y dans R

pour la b) je ne vois pas comment faire, je n'arrive pas à utiliser la définition de famille libre car E est de dimension infinie

merci pour votre aide
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[Médiat]

pour la b) je ne vois pas comment faire, je n'arrive pas à utiliser la définition de famille libre car E est de dimension infinie

Dans les espaces vectoriels de dimension infinie, les combinaisons linéaires des vecteurs de base continuent de ne contenir qu'un nombre fini de ces vecteurs.

[invite371ae0af]

merci pour ta réponse médiat

ma question a) est elle juste?

[Tiky]

Tu dois montrer que toute sous-famille finie de est libre.

Tu prends un n-uplet . Tu peux supposer que .

Tu supposes qu'il existe un n-uplet tel que :
. Tu dois montrer que

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

n'auriez vous pas d'autre exercices du même style en dimension infinie

[invite371ae0af]

j'ai toujours pas réussi cet exercice:
j'ai pris une famile finie de la famille {fy:y appartenant à R}. Si cette famille etst libre alors la famille {fy:y appartenant à R} l'est aussi
comme famille finie j'ai pris (a1,...,an) comme l'a dit tiky

après je fais une récurrence: malheureusement je n'arrive pas à prouver l'hérédité:
est ce que je peux dire que comme implique que les lambda sont sont nuls par hypothèse de récurrence
on aura obligatoirement ?

[inviteaf1870ed]

En général la méthode est de dériver l'égalité avec les lambda n fois, et de remarquer que l'on a un système de Vandermonde.

[invite371ae0af]

je n'ai pas vu les système de vendermonde.

quelqu'un pour m'aider pour la récurrence?

[inviteaf1870ed]

Pour Vandermonde, regarde ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_de_Vandermonde
Je ne pense pas que ce soit facile par récurrence...

[invite371ae0af]

mais je n'ai pas fait les matrices donc je ne peux pas utiliser ta méthode

[inviteaf1870ed]

As tu appris le Pivot de Gauss ?

[invite371ae0af]

oui ca je l'ai fait

[inviteaf1870ed]

Alors applique le pivot de Gauss au système obtenu en dérivant l'équation n fois.

[invite371ae0af]

merci pour ton aide je fais faire comme tu me dis mais j'aurai encore une question:

comment as tu su qu'il fallait dériver?

[inviteaf1870ed]

Hélas pour toi, il n'y a pas de méthode magique. Cependant quand tu as des combinaisons linéaires de fonctions, comme c'est le cas ici, tu cherches des valeurs spécifiques qui vont simplifier le système. Ici c'est assez difficile avec l'exponentielle, d'où l'idée de dériver pour se ramener à un système connu (Vandermonde)

[thepasboss]

Bonjour,

Juste en passant, une petite étude de fonction à l'infini si on suppose que l'ensemble des coefficient non nul est non vide marche très bien aussi ^^

[invite371ae0af]

pourrait tu être plus précis thepasboss?

[invitea07f6506]

Ben, au lie de s'embêter avec des déterminants de matrices, il y a en effet beaucoup plus simple à faire.

On veut montrer que, pour tout entier naturel , pour tous réels et pour tout -uplet de réels , si pour tout réel alors . On va procéder par récurrence.

* Initialisation : pour tout réel , si pour tout réel alors .

* Fixons un entier . Soient des réels. Soient des réels. Supposons que, pour tout réel , on ait . Si est non nul, en regardant la limite de cette expression, à quelle contradiction aboutit-on ? Que peut-on en déduire sur ? En utilisant l'hypothèse de récurrence, que peut-on en déduire sur ?

[invite371ae0af]

j'aurai encore une question:

pourquoi suppose t on que a1<...a(n+1)?

[thepasboss]

Juste parceque ça évite quelques lourdeurs de notations inutiles, et qu'à changement d'indices près, on peut toujours se ramener à ce cas.