questions sur les limites

[invite371ae0af]

bonsoir,
j'aimerai savoir si lorsque je fais un DL sur une expression je suis obligé de mettre toute l'expression en DL
Par exemple pour trouver la limite en 0 de ((1/X)sin(x))^(1/x²)
j'ai mis sur forme exponentielle puis j'ai fait le DL à l'ordre 1 de (1/x)sinx=1
au final la limite de l'expression est 1

j"aurais encore une questionour la limite en zéro


j'ai mis le terme sous forme exponentielle
mais après quand je fais un DL à l'ordre 1 la limite de toute l'expression n'est pas la même si je fais un DL à l'ordre 2
je trouve comme limite pour un DL 1 -2 et -3 pour un dl 2




merci de votre aide
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[invite57a1e779]

j'aimerai savoir si lorsque je fais un DL sur une expression je suis obligé de mettre toute l'expression en DL

On utilise généralement les développements limités pour lever des indéterminations : il suffit de développer les termes qui interviennent dans l'indétermination et on n'est pas obligé de toucher aux autres termes.

Par exemple pour trouver la limite en 0 de ((1/X)sin(x))^(1/x²)
j'ai mis sur forme exponentielle puis j'ai fait le DL à l'ordre 1 de (1/x)sinx=1
au final la limite de l'expression est 1

Tu t'est donc ramené à calculer la limite de : .

Le développement limité de te prouve que ce terme est de limite 1 en 0, donc son logarithme est de limite 0.
Mais est de limite en 0, donc le produit de par se présente sous forme indéterminée, et tu ne peux pas connaître sa limite.

Tu aurais dû faire un développement plus précis de .

En fait, en partant de la fin du calcul : tu veux la limite de pour passer à l'exponentielle ; puisque tu vas diviser par , il te faut le développement limité de , donc celui de , jusqu'au terme en , et, comme il y a une division par , il faut partir du développement limité de au troisième ordre.