Salut, je cherche à prouver l'existence d'une division euclidienne dans l'anneau des polynômes à une indéterminée X, c'est à dire que pour un polynôme P de degré m+n et un polynôme Q de degré m, il existe un polynôme T de degré n et un polynôme R de degré inférieur à n tel que :
P = QT+ R
J'ai réussi à démontrer l'existence de Q mais pour R je trouve son degré inférieur à m (et non n).
Voici comment j'ai procédé :
Tout d'abord je note les (ci) les coefficients de P, (ai) ceux de Q et (bi) ceux de T.
On remarque que c(m+n) = a(m)b(n), ce qui permet de définir b(n) puis c(m+n-1) = a(m-1)b(n) + a(m)b(n-1) ce qui permet de définir b(n-1) et ainsi de suite jusqu'à b0.
Le produit QT possède les mêmes termes de m jusqu'à m+n que P. Il faut ajouter donc un reste R pour "corriger" l'erreur, ce reste est donc de degré inférieur à m.
Comment compléter ma démonstration pour démontrer que le reste est de degré inférieur à n ?
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