Produit de factorielles et carrés

[invite18cff193]

Bonsoir,

Je suis confronté à un problème et je demande de l'aide.
n!*(n+1)! = m^2

Je cherche à trouver les n qui donnent exactement un carré selon l'égalité donnée ci-dessus.

Exemple :
3!*4!=6*24=144=12^2

n=8 donne un carré parfait
n=15 également.

Peut-on trouver une méthode autre que la programmation qui permet de les identifier?

Merci pour tout éclairage.
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[Médiat]

Vous avez donc trouvé que n = 3, 8 et 15 (vous avez oublié 0) donnent un bon résultat, ce devrait être facile d'inférer une règle, qui est d'ailleurs triviale à démontrer (même si on n'a pas réussi à trouver cette règle).

[invite57a1e779]

Merci pour tout éclairage.

(n+1)!=(n+1)*n!

[invite18cff193]

Merci pour l'éclairage.
Maintenant je comprends mieux pourquoi le nombre n!*(n+1)! - 1 a peu de chances d'être premier.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite25cbd5d2]

C'est facile avec les valuations p-adiques.

[invite18cff193]

On arrive à ce nombre qui, pour tout n>0, est toujours composé

((n!)*(n+2)!)*(n+1)*(n+2) - 1

[invite986312212]

et oui le premier terme est divisible par n, n+1 et n+2. L'un au moins de ces trois nombres est impair, donc en enlevant 1 tu as un nombre composé.

[invite18cff193]

et oui le premier terme est divisible par n, n+1 et n+2. L'un au moins de ces trois nombres est impair, donc en enlevant 1 tu as un nombre composé.

Désolé, j'ai oublié une parenthèse
C'est ((n!)*(n+2)!)*(n+1)*(n+2)) - 1

Exemple :

(3!*5!*4*5) - 1
(6*120*4*5)-1

[invite986312212]

ma remarque était d'ailleurs plus que stupide. honte à moi...

[invite18cff193]

En fait, il faut prouver que :

((n!)*(n+2)!)*(n+1)*(n+2)) est toujours un carré parfait.

[invite986312212]

n'est-ce pas évident? puisque n!(n+1)(n+2) = (n+2)!

[invite18cff193]

n'est-ce pas évident? puisque n!(n+1)(n+2) = (n+2)!

C'est évident certes mais le but est ailleurs.
Ce n'est qu'une étape transitoire dans ce que je recherche.
Merci pour le commentaire.

[NicoEnac]

Bonjour,

L'indication de God's Breath permet un résultat immédiat... D'ailleurs Médiat l'avait aussi indiqué mais sans écrire explicitement "l'astuce" (qui n'en n'est pas réellement une).

[invitefd4e7c09]

Bonjour,

n!*(n+1)!=n!*(n+1)*n!=(n!)^2*( n+1)=m^2 si et seulement si le terme (n+1) peut s'exprimer sous la forme d'un carré ce qui est bien évidemment le cas pour n=3 car (n+1=4=2^2) ou n=8 car (n+1=9=3^2) etc ...

Cordialement
Anthony

[invite18cff193]

En jouant sur les variables factorielles peut-on trouver des carrés sous la forme :

n!*m!*k!

n,m,k distincts

Là j'utilise 3 variables distinctes qu'en est-il avec 4,5,6,.....N variables?
Peut-on trouver des règles pour les associer et obtenir des carrés?

[invite18cff193]

Exemple de carrés :

4!*5!*6! donne un carré 1440^2

2!*4!*5!*8!*10! aussi

[NicoEnac]

Bonjour,

Avec un plus gran nombre de factorielles, le raisonnement est le même :
Considérons n₁! x n₂! x ... x n_N! produit de N factorielles rangées de telle manière n₁ <= n₂! <= ... <= n_N!

On peut écrire :

en gardant en tête que est un entier.

Si N est pair, alors peut s'écrire comme un carré tout comme si i est pair. Le produit peut donc s'écrire comme un carré si le produit des pour i impairs est un carré. On peut même enlever la puissance car et N-i-1 est pair.
Autrement dit, le produit est un carré si est un carré.

Si N est impair, le raisonnement est similaire.

[invite18cff193]

Merci beaucoup Monsieur NicoEnac pour cette démonstration.
Cela va me simplifier beaucoup de choses.