Factorielles

[invited4d0144b]

Pouvez vous m'aidez à simplifier cette factorielle svp:

k!(n-p)! / (k-p)!n!

Cette division me pose pb dans un exo et j'ai espéré que vous puissiez m'aider.

Merci et bonne soirée à tous!
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[invited4d0144b]

Dsl j'en ai encore une autre...

En fait la plupart de mes probas sont en dénombrement donc j'ai du mal à simplifier grace aux factorielles; Voila celle qui m'embete également:

[(k-1)!/(k-p)!] x [(n-p)!/n!]

Voila...cela m'aiderait beaucoup pour continuer mon exo si vous m'aidiez à simplifier ces deux factorielles...

Merci

[invite0ced31e7]

U = k!(n-p)!/(k-p)!n! = [k!/(k-p)!]/[n!(n-p)!] = N/D
(ouf! en ligne cela n'est pas évident)
avec:
N = k!/(k-p)!
et
D = n!/(n-p)!
(remarque: N et D ont la même forme)
N est le produit des k premiers entiers auquel on retranche les k-p premiers facteurs.
N = {1.2.3...(k-p).[(k-p)+1]...k} / (k-p)!
= (k-p+1)...k
= k(k-1)(k-2)...(k-p+1) (p facteurs)
de même:
D = n(n-1)(n-2)...(n-p+1) (p facteurs)
A.N:
n=10 ; k=7 ; p=3
avec l'expression première:
U = 7!(10-3)!/(7-3)!10!
= 1.2.3.4.5.6.7.1.2.3.4.5.6.7/1.2.3.4.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10
= 5.6.7/8.9.10 = 7/24
avec l'expression simplifiée:
U =7.6.5/10.9.8 = 7/24
Est-ce plus simple?

pour le 2ème message:
V = (k-1)!(n-p)!/(k-p)!n!
on se ramène au problème précédent.
(k-1)! = k!/k
d'où:
V = 1/k.[k!(n-p)!/[k-p)!n!] = 1/k. (N/D) = U/k