Equation dans C

[invite0fc76118]

Salut tout le monde!

Résoudre, dans ℂ, les équations (d'inconnue z ) :
(1) z 2 + z + i = 0
(2) z 2 + 2iz + i = 0

Je bloque pour calculer le discriminant:

(1) Delta= z² - 4(z(i)) et après je fais comment? (Ne me donné surtout pas le résultat!!)


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[inviteea028771]

Le discriminant de z² + z + i = 0 n'est pas z²-4zi mais 1²-4.1.i = 1 - 4i

[invite0fc76118]

Ah zut! j'ai fais n'importe quoi!

Donc l'équation (1) admet 2 solutions (puisque 1-4i est plus petit que 0... N'est ce pas?):

(-1-i racine de -1-4i) / 2 et (-1+racine de -1-4i)/ 2

C'est correct? j'ai l'impression d'avoir fais une erreur quelque part non?

[Tiky]

Ah zut! j'ai fais n'importe quoi!

Donc l'équation (1) admet 2 solutions (puisque 1-4i est plus petit que 0... N'est ce pas?):

(-1-i racine de -1-4i) / 2 et (-1+racine de -1-4i)/ 2

C'est correct? j'ai l'impression d'avoir fais une erreur quelque part non?

Sur , il n'y a pas de relation d'ordre "privilégiée" comme c'est le cas sur . Cela n'a donc pas de sens de dire que est plus petit que , à moins de proposer une telle relation d'ordre. De toute façon tu n'as pas besoin d'un tel critère. Le théorème de D'Alembert-Gauss te dit qu'un polynôme de degré sur admet racines aux multiplicités près. Tu sais déjà qu'il y aura deux racines, a priori complexes.

Il te faut alors déterminer les deux racines complexes (une suffit) du nombre . Autrement dit tu cherches un complexe tel que . Note que la fonction racine n'est définie que sur . Il ne faut pas écrire ! Il y a plusieurs méthodes pour trouver une racine carré d'un complexe.

Posons et . On a :

On identifie partie réelle et partie imaginaire :
et
On sait de plus que . C'est-à-dire :


On en déduit que :




Pour déterminer les deux racines complexes, il suffit d'utiliser le signe de pour savoir quelles racines réelles de et , il faut choisir.

Une autre méthode consiste à passer en notation exponentielle. Elle est très pratique. Je te laisse déterminer par toi-même les racines de .

[A voir en vidéo sur Futura]