Démonstration sur les espaces vectoriels

[invite340b7108]

Bonjour,

J'ai un exercice où il faut démontrer plusieurs assertions, et comme je suis plutôt nulle en démonstration, je viens implorer votre aide

1°) Si tout vecteur non-nul de V est un vecteur propre de f, alors il exite un tel que pour tout

Là je ne comprends pas très bien parce que c'est la définition d'un vecteur propre, non ?

2°) Si l'endomorphisme f est un automorphisme, tout sous-espace de V invariants sous f est aussi invariant sous . Est-ce que la même assertion est vraie sans l'hypothèse que f est un automorphisme ?

Là, je ne sais pas du tout comment commencer..

Merci d'avance
-----

[Seirios]

1°) Si tout vecteur non-nul de V est un vecteur propre de f, alors il exite un tel que pour tout

Là je ne comprends pas très bien parce que c'est la définition d'un vecteur propre, non ?

Attention, ce que tu sais c'est que : , et ce que l'on te demande prouver est : ; dans le premier cas, dépend de u (on peut d'ailleurs le noter pour insister), alors que ce n'est pas le cas dans le second cas. Tu dois donc montrer que pour tout , .

2°) Si l'endomorphisme f est un automorphisme, tout sous-espace de V invariants sous f est aussi invariant sous . Est-ce que la même assertion est vraie sans l'hypothèse que f est un automorphisme ?

Là, je ne sais pas du tout comment commencer..

Commence par écrire les définitions, tu y verras plus clair.

[invite340b7108]

Pour la 1), j'ai noté soit u et v deux vecteurs propres, et, mais je ne vois pas comment les "associer" pour trouver .

[invite340b7108]

Pour la 2), je ne vois pas dans mon cours où l'o.n parle de sous espace invariant. De plus, si f n'est pas un automorphisme alors n'existe pas, donc je ne comprends pas très bien.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Pour la 1), j'ai noté soit u et v deux vecteurs propres, et, mais je ne vois pas comment les "associer" pour trouver .

Tu supposes
Tu as . Donc .

[Seirios]

Pour la 2), je ne vois pas dans mon cours où l'o.n parle de sous espace invariant.

L'ensemble E est stable par f si pour tout , .