Espace de Banach sur un corps valué non complet
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Espace de Banach sur un corps valué non complet



  1. #1
    Seirios

    Espace de Banach sur un corps valué non complet


    ------

    Bonsoir à tous,

    J'aurais deux petites questions sur les espaces de Banach :

    Premièrement, le Bourbaki sur les espaces vectoriels topologiques définit un espace de Banach comme un espace vectoriel normé complet sur un corps valué non discret. Pourquoi nécessairement non discret ?

    J'aimerais ensuite savoir si vous connaissiez un espace de Banach de dimension finie sur un corps valué non complet et non discret.

    Un exemple sous la main ?

    Merci d'avance,
    Phys2

    -----
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  2. #2
    invite986312212
    Invité

    Re : Espace de Banach sur un corps valué non complet

    salut,
    peut-être que si le corps K n'est pas complet, tu peux trouver une suite de Cauchy (a_n) dans K qui ne converge pas, et alors si x est un vecteur non nul, la suite a_n.x est de Cauchy et ne converge pas (remplir les trous...)

  3. #3
    Seirios

    Re : Espace de Banach sur un corps valué non complet

    J'y avais pensé, mais je n'ai pas trouvé grand chose (la suite est bien de Cauchy, c'est la convergence qui me pose problème).
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #4
    God's Breath

    Re : Espace de Banach sur un corps valué non complet

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Premièrement, le Bourbaki sur les espaces vectoriels topologiques définit un espace de Banach comme un espace vectoriel normé complet sur un corps valué non discret. Pourquoi nécessairement non discret ?
    En général, les structures algébriques munies de la topologie discrète n'ont que les seules propriétés algébriques : les suites convergentes sont les seules suites stationnaires. Comme l'intérêt d'une topologie est d'obtenir de nouvelles propriétés par passage à la limite, on voit bien que c'est raté.

    Mais il y a peut-être une raison plus profonde.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite986312212
    Invité

    Re : Espace de Banach sur un corps valué non complet

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    J'y avais pensé, mais je n'ai pas trouvé grand chose (la suite est bien de Cauchy, c'est la convergence qui me pose problème).
    si la droite engendrée par x est fermée, la limite des a_n.x est dans cette droite et donc égale à un a.x . On doit pouvoir montrer qu'alors a est la limite des a_n d'où une contradiction. Par contre je ne me rappelle pas si en général on peut supposer qu'une droite vectorielle est fermée dans un Banach. Ca m'a l'air vraisemblable.

  7. #6
    God's Breath

    Re : Espace de Banach sur un corps valué non complet

    Le corps des nombres réels, normé par la valeur absolue, est un espace de Banach sur le corps des nombres rationnels, valué par la valeur absolue.
    Il est bien évidemment de dimension infinie, et aucune droite vectorielle n'est fermée.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  8. #7
    invite986312212
    Invité

    Re : Espace de Banach sur un corps valué non complet

    ah et bien voilà qui répond exhaustivement à la question de Phys2. Mon intuition était fausse.

  9. #8
    Seirios

    Re : Espace de Banach sur un corps valué non complet

    ah et bien voilà qui répond exhaustivement à la question de Phys2.
    Pas exactement, je posais la question sur les espaces de Banach de dimension finie (j'avais trouvé l'exemple de IR comme Q-espace vectoriel, mais pas en dimension finie justement).
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  10. #9
    invite4ef352d8

    Re : Espace de Banach sur un corps valué non complet

    Salut !

    quand tu te donne un espace de banach sur un corps valué non complet alors c'est automatiquement un espace de banach sur la completion du corps, donc étudier les espaces de banach sur des corps non complet n'a essentiellement aucun interet, puisque ce sont tous des espaces sur des corps complet

    ta question sur la dimension fini est essentiellement de savoir si il existe un corps non complet dont la completion est de dimension fini sur lui... et ca je doute très fort que ca soit possible (mais je ne vois pas d'argument immédiat qui le prouve... )


    pour ce qui est du "non discret" c'est parce qu'un espace sur un corps discret munie de la topologie discrète est automatiquement complet, donc ce n'est pas très intéressant... notamment beaucoup de théorème de base ne fonctionne plus dès que le corps de base est discret (cf bourbaki pour des exemples...)

  11. #10
    Seirios

    Re : Espace de Banach sur un corps valué non complet

    quand tu te donne un espace de banach sur un corps valué non complet alors c'est automatiquement un espace de banach sur la completion du corps, donc étudier les espaces de banach sur des corps non complet n'a essentiellement aucun interet, puisque ce sont tous des espaces sur des corps complet
    Bonne remarque, merci.

    Cela dit, il y a quelque chose qui me dérange : je suis d'accord que tout se passe pour le mieux dans le meilleur des mondes grâce à la densité du corps dans son complété, permettant de justifier que E est un espace vectoriel normé sur le complété du corps valué, qui est lui-même un corps valué ; mais au niveau de la complétude, je trouve qu'il n'y a rien à montrer...C'est-à-dire que, puisque l'on ne change ni les éléments de E, ni la norme sur E, il est complet quelque soit le corps valué considéré. C'est assez rare qu'il n'y ait rien à montrer, je suis passé à côté de quelque chose ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  12. #11
    Seirios

    Re : Espace de Banach sur un corps valué non complet

    On peut déjà montrer que pour un espace vectoriel normé E de dimension finie sur un corps valué non complet (et non discret), il existe une norme telle que E ne soit pas un espace de Banach : il suffit d'introduire la norme , avec les coordonnées de x dans la base canonique de ; alors une suite est de Cauchy ssi les suites coordonnées sont de Cauchy, et converge vers l ssi les converge vers . Donc si n'est pas complet, n'est pas un espace de Banach.

    L'ennui, c'est que lorsque K n'est pas complet, les normes sur E (de dimension finie) ne sont plus équivalentes...(il y a des contre-exemples sur Q)
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  13. #12
    invite4ef352d8

    Re : Espace de Banach sur un corps valué non complet

    "C'est assez rare qu'il n'y ait rien à montrer, je suis passé à côté de quelque chose ? " >>> la complétude ne depend ni de la norme, ni de la structure d'espace vectorielle : elle ne dépend que de la structure de groupe est de la topologie. vu qu'on ne change ni l'un ni l'autre il n'y a effectivement rien à vérifié...

    la seul vérification à faire pour dire que "E est un espace de banach sur le complété" c'est que la norme est toujours homogène après qu'on ai étendu les scalaires (mais c'est tout aussi trivial que le reste... )


    pour ce qui est de la dimension fini... les contre exemple existe en fait, mais ils les seuls que j'ai trouvé sont odieux (utilise l'axiome du choix...) :

    si on fixe un isomorphisme abstrait entre Cp (le complété de la cloture algébrique de Qp) et C, et qu'on regarde l'image de R par cet isomorphisme ca va être un sous corps dense de Cp, et Cp sera de dimension fini sur R... du coup si on munie Cp de la valuation p-adique, R de la valuation induite par son inclusion dans Cp, alors Cp est un R-espace de banach complet de dimension fini sur R...

  14. #13
    Seirios

    Re : Espace de Banach sur un corps valué non complet

    si on fixe un isomorphisme abstrait entre Cp (le complété de la cloture algébrique de Qp) et C, et qu'on regarde l'image de R par cet isomorphisme ca va être un sous corps dense de Cp, et Cp sera de dimension fini sur R... du coup si on munie Cp de la valuation p-adique, R de la valuation induite par son inclusion dans Cp, alors Cp est un R-espace de banach complet de dimension fini sur R...
    Il y a beaucoup de points que je ne comprends pas : pourquoi existe-t-il un isomorphisme (d'espace vectoriel topologique je suppose ?) entre Cp et IR ? Pourquoi l'image de IR est un sous corps dense dans Cp ? Pourquoi Cp est de dimension finie sur IR ? Pourquoi Cp (munit de la valuation p-adique, ect.) est complet ?

    En fait il y a une question pour chaque affirmation Tu n'as peut-être pas le temps de m'expliquer tout ça, donc si tu avais un bon document sous la main.

    Une dernière question : Comment as-tu trouvé ce contre-exemple ? En cherchant un peu partout ou avais-tu une idée derrière la tête ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  15. #14
    invite4ef352d8

    Re : Espace de Banach sur un corps valué non complet

    Alors on reprend tout !

    Toute les extensions fini de Qp sont munie d'une unique valuation qui étend la valuation p-adique de Qp, du coup, la cloture algébrique de Qp est munie d'une valuation p-adique naturelle, cette cloture algébrique n'est pas complette, on prend donc sont complété qu'on note Cp (qui est algébriquement clos d'après un lemme de Krasner) c'est l'analogue p-adique du corps des nombres complexe.

    en temps que corps topologique (corps valué ici) Cp et C sont très différent... en revanche il est bien connu qu'il existe des isomorphisme "exotique" de corps entre C et Cp (ce sont deux corps algébriquement clos de même degrée de transcedance au dessus de Q, ils sont donc isomorphe)

    Cette isomorphisme algébrique abstrait, permet de construire dans Cp un sous corps 'K' (l'image de R par le l'isomorphisme) tel que Cp va être un K espace vectorielle de dimension 2.

    on peut montrer que K n'est pas fermé dans Cp (faudrait étudier Cp un peu plus en détail... ) du coup K n'est pas complet et Cp est un K espace de banach de dimension 2 sur K...


    pour ce qui est de la génèse de l'idée, j'ai commencé par me dire que étend donné que la preuve était aps immédiate, il devait y avoir un contre exemple, pour construire des contreexemple avec des topologie bizard sur des corps, les bases de transcendance sont des outil puissant qui permette souvent de construire des sous corps "pathologique" mais pour les utiliser correctement, il vaut mieux travailler avec des extension algébriquement close... je rappelle que l'objectif était de trouver un corps complet L qui possède un sous corps dense K tel que L/K soit une extension fini

    Or il y a un théorème dont je me rappelle plus l'énoncé précis, mais qui dit en gros que (en caractéristiques 0 au moins) si L/K est une extension fini et L est algébriquement clos, alors L/K est une extension de degrée 2, qui d'un point de vue algébrique ressemble enormement à C/R, du coup, il fallait trouver un valuation sur C qui fasse de R un sous corps dense... et après les nombres p-adique viennent d'eux même ^^

  16. #15
    Seirios

    Re : Espace de Banach sur un corps valué non complet

    Je vais potasser quelques cours d'algèbre sur les corps, je reviendrai sur cette discussion dans quelques semaines

    Merci
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  17. #16
    Seirios

    Re : Espace de Banach sur un corps valué non complet

    En attendant, j'aurais un autre éventuel contre-exemple que j'aimerais trouver : j'ai montré qu'un espace vectoriel normé de dimension dénombrable sur un corps valué complet non discret ne peut pas être complet, et je me demande s'il est possible d'étendre ce résultat aux corps non complets ; existe-t-il donc un espace de Banach de dimension dénombrable sur un corps valué non complet et non discret ?
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  18. #17
    invite4ef352d8

    Re : Espace de Banach sur un corps valué non complet

    Salut !

    je n'ai pas (encore la réponse) mais ta question reviens exatcement à savoir si un corps complet peut-être de dimension dénombrable sur un sous corps dense... (etant donné que si on a B un espace de banach de dimension dénombrable sur k, alors c'est automatiquement un espace de banach sur K la completion de k, et du coup K est un espace de dimension dénombrable sur k -un sous corps dense - )

  19. #18
    Seirios

    Re : Espace de Banach sur un corps valué non complet

    Déjà K[X] ne peut pas être muni d'une structure d'algèbre de Banach, quelque soit K (valué non discret) : en effet, dans une algèbre de Banach, le groupe des éléments inversibles doit être ouvert alors qu'ici K* est d'intérieur vide.
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