espace vectoriel

[invite371ae0af]

bonjour,
j'aurai quelques questions:
je sais que l'équation d'un hyperplan est de la forme x+y+z+t=0
est ce que cette équation x-y-z+t=0 est aussi un hyperplan?

F={(x,y,z,t) dans R^4, x+y+z+t=0} G={(x,y,z,t) dans R^4, x=y=z=t}
pour montrer que l'intersection entre F et G est nulle, peut on prendre un vecteur dans G et montrer qu'il n'est pas dans F. Est ce suffisant?


P={(x,y,z) dans R^3, x+y+z=0} Q={(x,y,z) dans R^3, x-y-z=0}
P et Q sont des sev de R^3
une base de P est {(1,0,-1),(0,1,-1)} une base de Q est {(1,1,0),(0,1,-1)}
une base de R^3 qui est l'union des 2 bases précédentes est {(1,0-1),(1,1,0),(0,1,-1)}
Normalement P et Q devrait être supplémentaire à cause de l'union des bases. Mais ce n'est pas le cas puisque quand je fais le calcul l'intersection de P et Q n'est pas nul.
Pourquoi ca ne marche pas?


merci de votre aide
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[Tiky]

Je t'ai dit au moins trois fois, les hyperplans sont exactement les noyaux des formes linéaires non-nulles.

est clairement une forme linéaire non-nulle.

Ensuite le vecteur nul étant contenu dans tout espace vectoriel, ton raisonnement est incorrect. En revanche tu peux montrer que c'est le seul vecteur contenu à la fois dans et . C'est-à-dire .

La méthode est simple. Soit , montrons que . On pose . On a , donc et , donc . Autrement dit, on a , c'est-à-dire . Le vecteur est bien le vecteur nul. Nous avons ainsi montré que et sont en somme directe. Il reste à montrer que . Pour cela, il suffit de remarque que et que

Pour le deuxième exercice, les deux espaces sont des hyperplans, ils sont donc de dimension 2. S'ils étaient en somme directe, alors serait de dimension 4. C'est absurde.

[Tiky]

Ton erreur dans le second exercice vient du fait que lorsque l'on parle de réunion de base, ce n'est pas une réunion d'ensembles mais une réunion de familles. Une famille de indexée sur est la donnée d'une application de . Ce n'est rien d'autre qu'une notation plus pratique. Par exemple une suite est une famille dénombrable (elle est indexée sur ). L'indexation est souvent implicite mais dans ton exemple, il faut faire une différence entre le vecteur venant de la première base et ce même vecteur venant de la deuxième base. Pour simplifier, tu dois conserver les doublons. Finalement la réunion de ces deux bases n'est pas une base, elle a deux fois le même vecteur. Elle n'est donc pas libre.

[invite371ae0af]

en faite je ne comprend pas ta phrase
les hyperplans sont exactement les noyaux des formes linéaires non-nulles.

sinon merci de ta réponse

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

en faite je ne comprend pas ta phrase
les hyperplans sont exactement les noyaux des formes linéaires non-nulles.

sinon merci de ta réponse

Il fallait le dire alors
Tu connais la définition d'un noyau d'une application linéaire ?
, une application linéaire. Le noyau de est l'ensemble suivant :

Tu démontres facilement qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel de .

Ce que je te dis, c'est que pour tout hyperplan de , il existe une forme linéaire non-nulle de telle que , et inversement, tout noyau d'une forme linéaire non-nulle de est un hyperplan de .

Bref, si tu considères avec . est clairement une forme linéaire non-nulle et est son noyau. C'est un hyperplan.

[invite371ae0af]

d'accord
merci