Petite question inclusion d'ensemble.

[invite5ffffaa4]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer...

J'aimerais comprendre ceci;
Soit A un ensemble, on cherche à démontrer que
et qu'il y a égalité si f est injective.

Alors voilà, j'ai tout de suite eu le réflexe de dire que , parce qu'il s'agit de la fonction identité. Et que c'est évident. Mais on voit clairement que ce raisonnement est faux parce que j'aurai pu utiliser cela pour démontrer l'autre inclusion hors elle est fausse, il faut que f soit injective.
Alors pourquoi écrire cela est faux?

D'autre part, dans la démonstration du livre, il suppose . Ils en déduisent que et donc . Je ne voit pas comment on passe d'une étape à l'autre. Est-ce qu'il s'agit de dire que si alors nécessairement l'image de x appartient à l'ensemble des images de l'ensemble qui contient x?
Quel règle a t'on utiliser?

Merci.
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[Tiky]

Ta confusion vient d'un abus de notation.
Soit et avec,


Dans ton livre, il appelle comme bien que ce ne soient pas les mêmes fonctions. La raison étant que le contexte permet de savoir à quelle fonction on a véritablement à faire.

Quand ils écrivent , ils désignent en fait . C'est-à-dire :