Détermination d'un équivalent simple.

**Guigs.** · 26/02/2011, 16h20

Bonjour,

Je tourne en rond et je n'arrive pas à déterminer un équivalent simple de : $\sqr{x}\(lnx)^2 - x$ en + infini.

Merci de me donner une piste.

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**Jeanpaul** · 26/02/2011, 16h27

Mets -x en facteur et tu verras que c'est de la forme (1 + a) avec a tend vers zéro. C'est toujours le polynôme qui l'emporte sur le logarithme.

**Guigs.** · 26/02/2011, 16h54

Oui, mais en fait je veux justifier que :

$\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{(lnx)^2}{\sqr{x}}= 0$ .

**Tiky** · 26/02/2011, 17h21

Envoyé par Guigs.

Oui, mais en fait je veux justifier que :

$\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{(lnx)^2}{\sqr{x}}= 0$ .

Il suffit de prouver d'abord que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ . Une étude de fonction permet facilement de le montrer.

Une fois que c'est fait, on veut montrer que :
$\forall \alpha \in \mathbb{R},\ \forall \beta \in \mathbb{R}^*_+,\ \lim_{x \to +\infty}\ \ln(x)^{\alpha}x^{-\beta} = 0$

Pour $\alpha \leq 0$ , c'est évident.
Pour $\alpha \geq 0$ , on a :
$\ln(x)^{\alpha}x^{-\beta}=(\alpha \beta^{-1}\ln(x^{\beta \alpha^{-1}}))^{\alpha} x^{-\beta} = (\frac{\alpha}{\beta})^{\alpha }(\ln(x^{\beta \alpha^{-1}})x^{-\beta \alpha^{-1}})^{\alpha}$
La composition de limite permet de conclure.

**Tiky** · 26/02/2011, 17h55

Petite erreur dans ma réponse. Dans le second cas, on a évidemment $\alpha > 0$ .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Guigs.** · 26/02/2011, 18h04

Ok, merci de ta réponse.
Dans mon exemple, j'ai donc fait apparaître $\frac{lnx^{1/4}}{x^{1/4}}$ en suivant ta méthode, et ça marche tout seul ensuite par composition des limites.

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**Tiky** · 26/02/2011, 18h17

Tu peux considérer que c'est un résultat acquis et donner la limite sans aucune justification.

Détermination d'un équivalent simple.

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