Bijection entre N et N²

[invite856a0e25]

Bonjour,

J'ai fait un devoir durant mes vacances dans lequel je devais prouver la bijectivité d'une fonction. Seulement, malheureusement, je viens de me rendre compte, en me relisant, que je n'ai démontré que l'injectivité de la fonction en question, oubliant de montrer qu'elle est également surjective. Et c'est là tout le problème : je n'arrive pas à montrer que cette fonction est surjective. =(

La fonction en question est :

J'ai utilisé un raisonnement par l'absurde afin de montrer son injectivité.
En ce qui concerne la surjectivité, je sais que je dois montrer que, pour tout , il existe tel que
Toutefois, la présence de deux variables me perturbe grandement et je ne sais pas comment prouver que ma fonction est surjective.

Si quelqu'un a un début de piste, je lui en serais très reconnaisant.

D'avance merci,

Mezame.
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[Médiat]

Bonjour,

Utilisez la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers, par exemple (cela permet de démonter la bijection d'un seul coup).

[invitebe08d051]

Bonjour,

Utilisez la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers, par exemple (cela permet de démonter la bijection d'un seul coup).

Dans le même ordre d'idée, on peut utiliser la valuation de 2 pour construire un antécédent unique.

[invite856a0e25]

Merci beaucoup pour vos réponses, aussi rapides qu'utilse. =)

Je peux ainsi donc dire que si m étant un entier naturel, il est décomposable en le produit d'une puissance de 2 et d'un nombre impair.
Et, comme f est égale au produit d'une puissance de deux et d'un nombre impair, alors, m admet forcément un antécédant de la forme f(n',p'). (puisque m est un entier naturel et que m=f(n,p))
Et donc, f est surjective.

C'est bien cela ?

[A voir en vidéo sur Futura]