Nabla, produit vectoriel et intégrales

[DarK MaLaK]

Bonjour, j'ai quelques questions sur certaines propriétés de Nabla, car je ne vois aucun théorème qui en parle ! Et aussi une question sur le produit vectoriel car j'ai dû faire une erreur de calcul bête...

1) Quelles sont les conditions (nécessaires/suffisantes) pour que la formule suivante soit valable :



2) Quelles sont les conditions (nécessaires/suffisantes) pour que la formule suivante soit valable :



3) Quand je fais un produit vectoriel du type :



En supposant que dS est orientée suivant l'axe z en coordonnées cartésiennes, je trouve deux composantes (une suivant x, une suivant y). Est-ce normal ? C'est en désaccord avec le résultat d'un calcul que j'ai dans un cours...

Merci !
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[maxwellien]

bonjour,
Pour ce qui est de 1 et 2 c'est juste puisque nabla est un opérateur linéaire mais pour 3 je sais pas mais je pense qu' on voir voir ça comme un double produit vectoriel où A=rotB d'aprés stokes et rotB=nabla ^B donc A^dS=nabla^B^dS .
J'espére que ça te sera utile.

[DarK MaLaK]

Ok merci, la linéarité suffit donc ? Je sais par exemple que pour d/dt, il y a un théorème pour la dérivation sous le signe somme...

[acx01b]

salut, pour les 3 c'est les théorèmes d'inversion limites / intégrales qu'il faut utiliser

dans le cas simple : si ton domaine est borné et ta fonction (et son gradient) est bornée également, ça ne pose jamais de problème d'inverser

[A voir en vidéo sur Futura]

[DarK MaLaK]

C'est le nom exact du théorème ? En effet, j'intègre sur l'ensemble des réels en général...

[acx01b]

il y a plusieurs théorèmes

j'ai trouvé ça mais tu ne vas pas aimer :
http://www.univ-rouen.fr/LMRS/Persop...les/lec235.pdf

[DarK MaLaK]

Merci, ça me rappelle quelques théorèmes comme le 2.2 ou Fubini. Mais je ne trouve pas exactement quel théorème s'applique à mon cas, car beaucoup parlent de suites de fonctions, alors que j'ai des fonctions toutes simples (en trois dimensions). En fait, le théorème 2.4 se rapproche plus de ce que je cherche (puisque dans mon cas on dérive par des variables spatiales) mais il ne semble pouvoir s'applique qu'aux fonctions complexes. Et comme la dérivation complexe est différente (pour le peu que j'en sais), il me semble un peu trop facile de remplacer "holomorphe" par "C-infini" et de dire que le théorème est valable sur R !

[invite1e1a1a86]

le nabla n'est rien d'autre que le d/dx à plusieurs dimension (en rot ou gradient).

Les hypothèses sont donc exactement les mêmes que celle du th. d'inversion intégrale-dérivation (mais par rapport à chaque variable).

[DarK MaLaK]

Merci de ton aide, SchliesseB, mais j'ai justement du mal à trouver ce théorème sur internet. Il correspond au théorème 2.2 sur le PDF ?

Edit : s'apparente-t-il à la règle de Leibniz ?

[acx01b]

le gradient est la limite d'une certaine suite de fonctions :



c'est pour ça que j'ai parlé de th. d'inversion LIMITE / intégrale, où il peut s'agir de la limite d'une suite (de fonctions) ça ne pose pas de problème

[DarK MaLaK]

Bonjour, ce n'est pas encore clair, alors je viens poster un exemple pour que vous puissiez m'expliquer ça facilement.



Ici, r dépend des six variables et l'intégrale triple se fait sur tout l'espace (donc il intervient des infinis aux bornes). Comment je peux faire pour que nabla rentre dans l'intégrale, composante par composante ? C'est un cas un peu étrange du fait que les variables de nabla ne sont pas les mêmes que celles de l'intégration mais sont quand même contenues par une partie de la fonction à intégrer... Je ne sais pas ce que j'ai le droit de faire ou pas à partir de là.

Merci de m'éclairer !!

[invite1e1a1a86]

soyons plus simple. Pour:



quand ai-je le droit d'intervertir intégrale et dérivée?


À partir de là, pour plusieurs variables d'intégration c'est pareil par rapport à chaque variable. Puis, si on dérive par rapport à plusieurs variables, c'est pareil par rapport à chaque variable.

Remarque, on est loin des discussions d'Electromagnétisme...

[DarK MaLaK]

D'après la règle de Leibnitz, il faut que les bornes de l'intégrale ne dépendent pas de x. Et ensuite, il me faut une condition qui me permette d'inverser la dérivation avec la limite... Je recopie la formule :



Je suppose qu'en dérivant mon paramètre n, il s'annule comme une constante... Mais la difficulté pour moi est l'inversion entre limite et dérivation, je ne sais pas s'il y a des conditions. Il me semble qu'on inverse la limite avec une fonction quand elle est continue mais pour un opérateur, je ne vois pas.


P.S. : On s'écarte un peu de l'électromagnétisme au sens physique, mais j'ai vu ce calcul pour démontrer l'équation de Maxwell-Gauss à partir de la loi de Coulomb et je veux le comprendre dans ses moindres détails.

[invite1e1a1a86]

quel niveau as tu en intégration? (intégrale de Riemann?, Lesbegue?)
Je ne comprend absolument pas ce que tu as fait.

dans tous les cas, en tapant "interversion limite intégrale" dans google, on trouve les différents théorème qui te le permette.

je peux inverser limite et intégrale si:
est dérivable par rapport a la seconde variable.
est continue et intégrable par rapport a la premiere variable
est bornée par une fonction de seul (au moins sur des voisinages pour la variable ) qui est intégrable.

As-tu un théorème comme cela dans ton cours? est-ce que cela t'aide?

[DarK MaLaK]

Il n'y a aucun théorème dans mon cours, c'est de la physique et ils sont souvent implicites... Je ne sais pas encore si ce que tu me dis m'aide car je vais devoir aller manger et je manque un peu de temps pour réfléchir. Mais ce que j'ai fait dans mon calcul, c'est simplement de dire que je prend la limite en l'infini de l'intégrale en notant n ses bornes... Là j'ai inversé le signe de dérivation et la limite (c'est là que je demandais si c'était faisable), et ensuite j'ai appliqué la règle de Leibnitz telle que je l'ai trouvée ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%...t.C3.A9gration

Et en intégration, je ne sais pas vraiment quel est mon niveau, ça se perd vite quand on n'en fait pas régulièrement... Je me souviens ne pas avoir vu beaucoup plus loin que le théorème de Fubini si ça peut te donner une idée. Les changements de coordonnées aussi, avec le jacobien, des trucs avec des compacts mesurables, mais là j'ai oublié.

[invite1e1a1a86]

c'est simplement de dire que je prend la limite en l'infini de l'intégrale en notant n ses bornes... Là j'ai inversé le signe de dérivation et la limite (c'est là que je demandais si c'était faisable), et ensuite j'ai appliqué la règle de Leibnitz telle que je l'ai trouvée ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%...t.C3.A9gration

pas besoin d'instaurer ce n. Justement, pour inverser dérivation et intégrale. il faut les hypothèses que j'ai écrite ci-dessus. pas besoin de prendre un compact pour ça.

[DarK MaLaK]

Bonjour, j'ai trouvé un théorème de dérivation sous le signe somme. Il ressemble beaucoup aux hypothèses que tu m'as données, SchliesseB. Du coup, je voudrais juste te poser une question : quand tu as énoncé tes critères, tu n'as pas inversé et x ?

Sinon, je pense que toutes les fonctions dans mon intégrale sont continues, dérivables et intégrables, donc il ne devrait pas y avoir de problèmes. Par contre, il faut que je trouve une fonction qui majore la dérivée partielle... En calculant cette dérivée, je trouve :



Est-ce que je peux en déduire qu'elle est bornée par par exemple ?