système d'équations

[invite64bdb335]

Bonjour tout le monde!!!!

Voilà pour mon projet j'ai besoin de résoudre ce système d'équation qui me donne bien du fil à retordre:

a+b+c+d=U
ab+ac+ad+dc+db+cb=V
abc+adc+adb+dcb=W
abcd=X

sachant que je connais U,V,W et X.

Je suis sûre que ce n'est pas si compliqué mais je pense avoir essayé toutes les combinaisons et soit je retombe sur mon équation caractéristique de degré 4 qui m'a donné ce système soit ça devient trop compliqué pour isoler les variables.

Je commence à désespérer aidez moi je vous en prie!!!!!


^^
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[invite9617f995]

Bonjour,

Résoudre ce système revient il me semble exactement à trouver les racines du polynôme P(t)=t⁴-Ut³+Vt²-Wt+X.
Si j'ai bien compris c'est d'ailleurs que c'est de là que vient le système.

Il n'y a pas de méthode algébrique simple pour résoudre un tel système, en fait je pense qu'il vaut mieux déterminer directement les racines du polynômes P.

Pour cette question, tout dépend du but de la résolution :

Si jamais on connait les valeurs de U, V, W et X, venant par exemple de la physique ou quoi que ce soit, et que des valeurs numériques approchées de a, b, c et d te suffisent, alors la résolution de l'équation par une machine me parait la méthode la plus efficace.

Si jamais tu recherches des valeurs exactes, que tu connais U, V, W et X et que ceux-ci ne sont pas trop compliqués, il y a peut-être des moyens de résolution en trouvant des racines évidente.

Mais si le polynôme P est quelconque, ou si les coefficients sont trop compliqués mais que tu cherche quand même une formule algébrique exacte de a, b, c et d, alors il faut savoir qu'il existe encore des méthodes de résolution d'une équation polynomiale de degré 4 quelconque.
Il y en a plusieurs, plus ou moins simples, mais qui pour certaines demandent des conditions. Celle qui permet de résoudre une équation quelconque est il me semble la méthode de Ferrari.

En espérant t'aider,
Silk

[invite64bdb335]

Je te remercie beaucoup, je vais jeter un oeil à cette méthode en espérant quelle me fera avancer.

Bonne soirée