réarrangement d'une série

[invite5a750395]

Bonjour,

je travaille sur ce théorème là :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...ent_de_Riemann

et j'ai quelque chose qui me pose problème, lors de la construction de la permutation :

On construit une permutation σ de N de la façon suivante. On commence à sommer les termes positifs (sans en omettre) ou nuls jusqu'à dépasser α (possible d'après (3)). Puis on somme tous les termes strictement négatifs jusqu'à ce que la somme partielle soit strictement inférieure à α (possible d'après (3)). Puis on itère le procédé, en sommant les termes positifs à partir de là on s'était arrêté, puis les termes négatifs, etc... On a bien construit une permutation.

Qui revient donc, si j'ai bien compris, à sommer les termes positifs pour dépasser alpha, puis les termes négatifs pour repasser en dessous etc ...

Je comprends qu'on puisse le faire un nombre fini de fois, car les séries des termes positifs et négatifs divergent vers +l'infini et - l'infini, mais je me demandais pourquoi ça ne posait pas de problèmes, lorsqu'on répète ce procédé à l'infini.

Vous pourriez m'éclairer ?

Merci.

EDIT : je fais peut être une fixation, car à chaque étape on a utilisé qu'un nombre finis de termes, mais je veux m'assurer que c'est évident, car j'ai toujours en tête les histoires de sommes finies/infinies, qui ne se comportent pas de la même façon (là c'est un peu un procédé "infini").
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[invitea0db811c]

Ca ne pose pas de problème si on revient à la définition de la convergence en exploitant le fait que le terme général que tu somme tend vers vers zéro.